Esercizio calcolo integrale 29

Devo risolvere l'integrale

$$ \int \frac{( \sin x - \cos x)^2}{\cos^2 x} \ dx $$

Svolgo il quadrato del binomio al numeratore

$$ \int \frac{\sin x^2 - 2 \sin x \cos x + \cos^2 x}{\cos^2 x} \ dx $$

$$ \int \frac{\sin x^2 + \cos^2 x - 2 \sin x \cos x }{\cos^2 x} \ dx $$

$$ \int \frac{1 - 2 \sin x \cos x }{\cos^2 x} \ dx $$

Ora separo la funzione integranda in due fratti

$$ \int \frac{1}{\cos^2 x} - \frac{2 \sin x \cos x}{\cos^2 x} \ dx $$

$$ \int \frac{1}{\cos^2 x} - \frac{2 \sin x}{\cos x} \ dx $$

Per la proprietà lineare degli integrali

$$ \int \frac{1}{\cos^2 x} \ dx - \int \frac{2 \sin x}{\cos x} \ dx $$

$$ \int \frac{1}{\cos^2 x} \ dx - 2 \int \frac{\sin x}{\cos x} \ dx $$

Il primo integrale è immediato ∫1/cos2(x)=tan(x)+c

$$ \tan(x) + c - 2 \int \frac{\sin x}{\cos x} \ dx $$

Per risolvere il secondo interesse pongo t=cos(x) e applico il metodo del differenziale

$$ t = \cos(x) $$

$$ dt = - \sin(x) \ dx $$

Esplicito dx

$$ dx = - \frac{1}{\sin(x)} dt $$

Sostituisco dx nell'integrale e semplifico

$$ \tan(x) + c - 2 \int \frac{\sin x}{\cos x} \ \cdot \frac{-1}{\sin(x)} dt $$

$$ \tan(x) + c - 2 \int \frac{1}{\cos x} \ \cdot (-1) dt $$

$$ \tan(x) + c - 2 \cdot (-1) \int \frac{1}{\cos x} \ dt $$

$$ \tan(x) + c +2 \int \frac{1}{\cos x} \ dt $$

Anche il secondo integrale è immediato ∫ 1/cos(x)=log|cos(x)|

$$ \tan(x) + c +2 \log | \cos x | $$

$$ \tan(x) +2 \log | \cos x | + c $$

Quest'ultima è la soluzione dell'integrale

E così via.