Esercizio calcolo integrale 27

Devo risolvere l'integrale

$$ \int 2 \cdot \tan^2(x) - 1 \ dx $$

L'integrale si può risolvere in vari modi

Soluzione 1

$$ \int 2 \cdot \tan^2(x) - 1 \ dx $$

Per la proprietà lineare l'integrale di una somma di funzioni è uguale alla somma degli integrali delle funzioni

$$ \int 2 \cdot \tan^2(x) \ dx - \int 1 \ dx $$

$$ 2 \cdot \int \tan^2(x) \ dx - \int 1 \ dx $$

Il secondo integrale è elementare ∫1dx=x+c

$$ 2 \cdot \int \tan^2(x) \ dx - x + c $$

Posso sostituire la tangente al quadrato con 1/cos2(x)-1

$$ 2 \cdot \int \frac{1}{\cos^2(x)-1} \ dx - x + c $$

Spiegazione. Per il primo principio della trigonometria vale la relazione $$ \sin^2(x)+\cos^2(x)=1 $$ Divido entrambi i membri per cos2(x). $$ \frac{ \sin^2(x) }{ \cos^2(x) }+ \frac{ \cos^2(x) }{ \cos^2(x) }= \frac{ 1 }{ \cos^2(x) } $$ $$ \frac{ \sin^2(x) }{ \cos^2(x) }+ 1= \frac{ 1 }{ \cos^2(x) } $$ $$ \frac{ \sin^2(x) }{ \cos^2(x) }= \frac{ 1 }{ \cos^2(x) } - 1 $$ Per il secondo principio della trigonometria vale la relazione tan(x)=sin(x)/cos(x). $$ \tan^2(x)= \frac{ 1 }{ \cos^2(x) } - 1 $$

Applico la proprietà lineare degli integrali

$$ 2 \cdot \int \frac{1}{\cos^2(x)-1} \ dx - x + c $$

$$ 2 \cdot [ \int \frac{1}{\cos^2(x)} \ dx - \int 1 \ dx - x + c $$

Il secondo integrale è elementare ∫1dx=x+c

$$ 2 \cdot [ \int \frac{1}{\cos^2(x)} \ dx - x ] - x + c $$

Anche il primo integrale è elementare ∫1/cos2(x) dx=tan(x)+c

$$ 2 \cdot [ \tan(x) - x ] - x + c $$

$$ 2 \tan(x) - 2 x - x + c $$

$$ 2 \tan(x) - 3 x + c $$

Quest'ultima è la soluzione dell'integrale.

Soluzione 2

$$ \int 2 \cdot \tan^2(x) - 1 \ dx $$

Applico il secondo principio della trigonometria in base al quale tan(x)=sin(x)/cos(x)

$$ \int 2 \cdot \frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)} - 1 \ dx $$

$$ \int \frac{2 \cdot \sin^2(x) - \cos^2(x) }{\cos^2(x)} \ dx $$

In base al primo principio della trigonometria vale la relazione sin2(x)+cos2(x)=1

Sostituisco sin2(x)=1-cos2(x) nella funzione integranda e semplifico

$$ \int \frac{2 \cdot [1-cos^2(x)] - \cos^2(x) }{\cos^2(x)} \ dx $$

$$ \int \frac{2-2cos^2(x) - \cos^2(x) }{\cos^2(x)} \ dx $$

$$ \int \frac{2-3cos^2(x)}{\cos^2(x)} \ dx $$

$$ \int \frac{2}{\cos^2(x)} - \frac{3cos^2(x)}{\cos^2(x)} \ dx $$

$$ \int \frac{2}{\cos^2(x)} - 3 \ dx $$

Applico la proprietà lineare degli integrali

$$ \int \frac{2}{\cos^2(x)} \ dx - \int 3 \ dx $$

$$ 2 \cdot \int \frac{1}{\cos^2(x)} \ dx - 3 \int 1 \ dx $$

Ora gli integrali sono immediati.

L'integrale ∫1/cos2(x)dx=tan(x)+c mentre l'integrale ∫1dx=x+c

$$ 2 \cdot \tan(x) - 3 x + c $$

Quest'ultima è la soluzione dell'integrale

E così via.

 


 

Segnalami un errore, un refuso o un suggerimento per migliorare gli appunti

FacebookTwitterLinkedinLinkedin
knowledge base

Il calcolo integrale