Esercizio calcolo integrale 27
Devo risolvere l'integrale
$$ \int 2 \cdot \tan^2(x) - 1 \ dx $$
L'integrale si può risolvere in vari modi
Soluzione 1
$$ \int 2 \cdot \tan^2(x) - 1 \ dx $$
Per la proprietà lineare l'integrale di una somma di funzioni è uguale alla somma degli integrali delle funzioni
$$ \int 2 \cdot \tan^2(x) \ dx - \int 1 \ dx $$
$$ 2 \cdot \int \tan^2(x) \ dx - \int 1 \ dx $$
Il secondo integrale è elementare ∫1dx=x+c
$$ 2 \cdot \int \tan^2(x) \ dx - x + c $$
Posso sostituire la tangente al quadrato con 1/cos2(x)-1
$$ 2 \cdot \int \frac{1}{\cos^2(x)-1} \ dx - x + c $$
Spiegazione. Per il primo principio della trigonometria vale la relazione $$ \sin^2(x)+\cos^2(x)=1 $$ Divido entrambi i membri per cos2(x). $$ \frac{ \sin^2(x) }{ \cos^2(x) }+ \frac{ \cos^2(x) }{ \cos^2(x) }= \frac{ 1 }{ \cos^2(x) } $$ $$ \frac{ \sin^2(x) }{ \cos^2(x) }+ 1= \frac{ 1 }{ \cos^2(x) } $$ $$ \frac{ \sin^2(x) }{ \cos^2(x) }= \frac{ 1 }{ \cos^2(x) } - 1 $$ Per il secondo principio della trigonometria vale la relazione tan(x)=sin(x)/cos(x). $$ \tan^2(x)= \frac{ 1 }{ \cos^2(x) } - 1 $$
Applico la proprietà lineare degli integrali
$$ 2 \cdot \int \frac{1}{\cos^2(x)-1} \ dx - x + c $$
$$ 2 \cdot [ \int \frac{1}{\cos^2(x)} \ dx - \int 1 \ dx - x + c $$
Il secondo integrale è elementare ∫1dx=x+c
$$ 2 \cdot [ \int \frac{1}{\cos^2(x)} \ dx - x ] - x + c $$
Anche il primo integrale è elementare ∫1/cos2(x) dx=tan(x)+c
$$ 2 \cdot [ \tan(x) - x ] - x + c $$
$$ 2 \tan(x) - 2 x - x + c $$
$$ 2 \tan(x) - 3 x + c $$
Quest'ultima è la soluzione dell'integrale.
Soluzione 2
$$ \int 2 \cdot \tan^2(x) - 1 \ dx $$
Applico il secondo principio della trigonometria in base al quale tan(x)=sin(x)/cos(x)
$$ \int 2 \cdot \frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)} - 1 \ dx $$
$$ \int \frac{2 \cdot \sin^2(x) - \cos^2(x) }{\cos^2(x)} \ dx $$
In base al primo principio della trigonometria vale la relazione sin2(x)+cos2(x)=1
Sostituisco sin2(x)=1-cos2(x) nella funzione integranda e semplifico
$$ \int \frac{2 \cdot [1-cos^2(x)] - \cos^2(x) }{\cos^2(x)} \ dx $$
$$ \int \frac{2-2cos^2(x) - \cos^2(x) }{\cos^2(x)} \ dx $$
$$ \int \frac{2-3cos^2(x)}{\cos^2(x)} \ dx $$
$$ \int \frac{2}{\cos^2(x)} - \frac{3cos^2(x)}{\cos^2(x)} \ dx $$
$$ \int \frac{2}{\cos^2(x)} - 3 \ dx $$
Applico la proprietà lineare degli integrali
$$ \int \frac{2}{\cos^2(x)} \ dx - \int 3 \ dx $$
$$ 2 \cdot \int \frac{1}{\cos^2(x)} \ dx - 3 \int 1 \ dx $$
Ora gli integrali sono immediati.
L'integrale ∫1/cos2(x)dx=tan(x)+c mentre l'integrale ∫1dx=x+c
$$ 2 \cdot \tan(x) - 3 x + c $$
Quest'ultima è la soluzione dell'integrale
E così via.
