Esercizio calcolo integrale 16
Ho il seguente integrale da risolvere
$$ \int \frac{x-2}{x^3-7x-6} \ dx $$
Semplifico il denominatore utilizzando il metodo di Ruffini.
Il denominatore x3-7x-6 si annulla quando x=3
Quindi, il polinomio è divisibile per (x-3).
$$ \begin{array}{c|lcc|r} & 1 & 0 & -7 & -6 \\ 3 & & 3 & 9 & 6 \\ \hline & 1 & 3 & 2 & 0 \end{array} $$
Pertanto, posso riscrivere il denominatore come (x-3)(x2+3x+2)
$$ \int \frac{x-2}{(x-3) \cdot (x^2+3x+2)} \ dx $$
L'equazione di secondo grado x2+3x+2=0 ha le seguenti soluzioni
$$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} $$
Dove a=1, b=3 e c=2
$$ x = \frac{-(3) \pm \sqrt{(3)^2-4(1)(2)}}{2(1)} $$
$$ x = \frac{-3 \pm \sqrt{9-8}}{2} $$
$$ x = \frac{-3 \pm \sqrt{1}}{2} $$
$$ x = \frac{-3 \pm 1}{2} $$
$$ x = \begin{cases} \frac{-3- 1}{2} = -2 \\ \\ \frac{-3+1}{2} = -1 \end{cases} $$
Le soluzioni dell'equazione di 2° grado sono x1=-2 e x2=-1
Quindi, posso riscrivere l'equazione di secondo grado per scomposizione tramite le radici come il prodotto x2-3x+2=(x-x1)·(x-x2) ossia x2-3x+2=(x-(-2))·(x-(-1))
$$ \int \frac{x-2}{(x-3) \cdot (x^2-3x+2)} \ dx $$
$$ \int \frac{x-2}{(x-3) \cdot (x-(-2)) \cdot (x-(-1))} \ dx $$
$$ \int \frac{x-2}{(x-3) \cdot (x+2) \cdot (x+1)} \ dx $$
Dopo aver fattorizzato il denominatore, posso applicare la tecnica della decomposizione in fratti irriducibili.
$$ \int \frac{A}{(x-3)} + \frac{B}{(x+2)} + \frac{C}{(x+1)} \ dx $$
$$ \int \frac{A \cdot (x+2) \cdot (x+1) + B \cdot (x-3) \cdot (x+1) +C \cdot (x-3) \cdot (x+2) }{(x-3) \cdot (x+2) \cdot (x+1)} \ dx $$
$$ \int \frac{A \cdot (x^2+x+2x+2) + B \cdot (x^2+x -3x-3)+ C \cdot (x^2+2x-3x-6) }{(x-3) \cdot (x+2) \cdot (x+1)} \ dx $$
$$ \int \frac{A \cdot (x^2+3x+2) + B \cdot (x^2-2x-3)+ C \cdot (x^2-x-6) }{(x-3) \cdot (x+2) \cdot (x+1)} \ dx $$
$$ \int \frac{ (x^2A+3xA+2A) + (x^2B-2xB-3B)+ (x^2C-xC-6C) }{(x-3) \cdot (x+2) \cdot (x+1)} \ dx$$
Metto in evidenza x2, x e i termini noti
$$ \int \frac{ x^2 (A+B+C) + x(3A-2B-C) + (2A-3B-6C) }{(x-3) \cdot (x+2) \cdot (x+1)} \ dx $$
Pertanto, posso riscrivere l'integrale iniziale anche in questo modo equivalente
$$ \int \frac{x-2}{(x-3) \cdot (x+1) \cdot (x+2)} \ dx = \int \frac{ x^2 (A+B+C) + x(3A-2B-C) + (2A-3B-6C) }{(x-3) \cdot (x+2) \cdot (x+1)} \ dx $$
Dal confronto diretto tra i numeratori degli integrali deduco che:
- A+B+C=0 perché x2 non compare nell'integrale a sinistra. Ha coefficiente nullo.
- 3A-2B-C=1 perché x ha coefficiente uguale a 1 nell'integrale a sinistra.
- 2A-3B-6C=-2 perché il termine noto nell'integrale a sinistra è -2
A questo punto dispongo queste tre equazioni in un sistema
$$ \begin{cases} A+B+C=0 \\ 3A-2B-C=1 \\ 2A-3B-6C=-2 \end{cases} $$
Risolvo il sistema di equazioni per sostituzione.
$$ \begin{cases} A+B+C=0 \\ 3A-2B-C=1 \\ 2A-3B-6C=-2 \end{cases} $$
Sostituisco A=- B-C
$$ \begin{cases} A=-B-C \\ 3(-B-C)-2B-C=1 \\ 2(-B-C)-3B-6C=-2 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} A=-B-C \\ -3B-3C-2B-C=1 \\ -2B-2C-3B-6C=-2 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} A=-B-C \\ -5B-4C=1 \\ -5B-8C=-2 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} A=-B-C \\ -5B-4C=1 \\ -5B-8C=-2 \end{cases} $$
Sostituisco B=(-1-4C)/5
$$ \begin{cases} A=-( \frac{-1-4C}{5} )-C \\ B= \frac{-1-4C}{5} \\ -5( \frac{-1-4C}{5} ) -8C=-2 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} A= \frac{1+4C}{5} -C \\ B= \frac{-1-4C}{5} \\ 1+4C -8C=-2 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} A=\frac{1+4C-5C}{5} \\ B= \frac{-1-4C}{5} \\ -4C=-2-1 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} A=\frac{1-C}{5} \\ B= \frac{-1-4C}{5} \\ -4C=-3 \end{cases} $$
Sostituisco C=3/4
$$ \begin{cases} A=\frac{1-C}{5} \\ B= \frac{-1-4C}{5} \\ C= \frac{3}{4} \end{cases} $$
$$ \begin{cases} A=\frac{1-\frac{3}{4}}{5} \\ B= \frac{-1-4 \cdot \frac{3}{4}}{5} \\ C= \frac{3}{4} \end{cases} $$
$$ \begin{cases} A=\frac{\frac{4-3}{4}}{5} \\ B= \frac{-1-3}{5} \\ C= \frac{3}{4} \end{cases} $$
$$ \begin{cases} A=\frac{\frac{1}{4}}{5} \\ B= \frac{-4}{5} \\ C= \frac{3}{4} \end{cases} $$
$$ \begin{cases} A=\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{5} \\ B= \frac{-4}{5} \\ C= \frac{3}{4} \end{cases} $$
$$ \begin{cases} A=\frac{1}{20} \\ B= \frac{-4}{5} \\ C= \frac{3}{4} \end{cases} $$
Pertanto, le soluzioni del sistema sono A=1/20, B= -4/5 e C=3/4
Sostituisco i valori appena trovati nei fratti semplici
$$ \int \frac{A}{(x-3)} + \frac{B}{(x+2)} + \frac{C}{(x+1)} \ dx $$
$$ \int \frac{\frac{1}{20}}{(x-3)} + \frac{-\frac{4}{5}}{(x+2)} + \frac{\frac{3}{4}}{(x+1)} \ dx $$
$$ \int \frac{1}{20} \cdot \frac{1}{x-3} -\frac{4}{5} \cdot \frac{1}{x+2} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{x+1} \ dx $$
Per la proprietà lineare, l'integrale di una somma algebrica è uguale alla somma algebrica degli integrali
$$ \int \frac{1}{20} \cdot \frac{1}{x-3} \ dx - \int \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{x+2} \ dx + \int \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{x+1} \ dx $$
Faccio uscire le costanti 1/2, 4/5 e 3/4 dai rispettivi integrali.
$$ \frac{1}{20} \cdot \int \frac{1}{x-3} \ dx - \frac{4}{5} \cdot \int \frac{1}{x+2} \ dx + \frac{3}{4} \cdot \int \frac{1}{x+1} \ dx $$
Ora i tre integrali sono elementari.
Il primo integrale è il logaritmo di |x-3| ossia ∫1/(x-3)=log |x-3| + c
$$ \frac{1}{20} \cdot \log |x-3| + c - \frac{4}{5} \cdot \int \frac{1}{x+2} \ dx + \frac{3}{4} \cdot \int \frac{1}{x+1} \ dx $$
Il secondo integrale è ∫1/(x+2)=log |x+2| + c
$$ \frac{1}{20} \cdot \log |x-3| + c - \frac{4}{5} \cdot \log |x+2| + \frac{3}{4} \cdot \int \frac{1}{x+1} \ dx $$
Il terzo integrale è ∫1/(x+1)=log |x+1| + c
$$ \frac{1}{20} \cdot \log |x-3| + c - \frac{4}{5} \cdot \log |x+2| + \frac{3}{4} \cdot \log |x+1| $$
Pertanto, la soluzione dell'integrale iniziale è la seguente
$$ \int \frac{x-2}{x^3-7x-6} = \frac{1}{20} \cdot \log |x-3| - \frac{4}{5} \cdot \log |x+2| + \frac{3}{4} \cdot \log |x+1| + c $$
E così via.
