Esercizio calcolo integrale 12

Devo calcolare la primitiva della funzione

$$F(x) = \int \frac{ \log^2[\sin(x)] }{\sin^2(x)} \cdot \sin(x) \ dt$$

tale che

$$F(\frac{\pi}{2}) = 1$$

Imposto il problema ponendo come estremo inferiore dell'integrale il punto π/2

$$F(x) = \int_{\frac{\pi}{2}}^x \frac{ \log^2[\sin(t)] }{\sin^2(t)} \cdot \sin(t) \ dt$$

Quando x=π/2 l'integrale definito è 0, poiché in questo caso deve essere F(π/2)=1 aggiungo all'integrale +1

$$F(x) = 1+ \int_{\frac{\pi}{2}}^x \frac{ \log^2[\sin(t)] }{\sin^2(t)} \cdot \sin(t) \ dt$$

In questo modo soddisfo la condizione iniziale.

A questo punto calcolo l'integrale

Applico la formula di duplicazione del seno sin(2t)=2sin(t)cos(t)

$$F(x) = 1+ \int_{\frac{\pi}{2}}^x \frac{ \log^2[\sin(t)] }{\sin^2(t)} \cdot 2 \sin(t) \cos(t) \ dt$$

Così facendo semplifico sin(t) al numeratore e al denominatore

$$F(x) = 1+ \int_{\frac{\pi}{2}}^x \frac{ \log^2[\sin(t)] }{\sin(t)} \cdot 2 \cos(t) \ dt$$

$$F(x) = 1 + 2 \int_{\frac{\pi}{2}}^x \frac{ \log^2[\sin(t)] }{\sin(t)} \cos(t) \ dt$$

La componente cos(t)/sin(t) dt è il differenziale di log[sin(t)]

$$F(x) = 1+ 2\int_{\frac{\pi}{2}}^x \log^2[\sin(t)] \ d \ \log[\sin(t)]$$

Spiegazione. $$D [ \log(\sin(t)) ] = \frac{1}{\sin(t)} \cdot D[\sin(t)] = \frac{1}{\sin(t)} \cdot \cos(t) = \frac{\cos(t)}{\sin(t)}$$

Assegno la variabile s=log(sin(t))

$$F(x) = 1+ 2\int_{\frac{\pi}{2}}^x s^2 \ d \ s$$

Calcolo l'integrale

$$F(x) = 1+ 2 \cdot [ \frac{s^3}{3} ]_{\frac{\pi}{2}}^x$$

Sostituisco s=log(sin(t))

$$F(x) = 1+2 \cdot [ \frac{ \log^3[\sin(t)] }{3}]_{\frac{\pi}{2}}^x$$

$$F(x) = 1+ \frac{2}{3} \cdot [ \log^3[\sin(t)]]_{\frac{\pi}{2}}^x$$

$$F(x) = 1+ \frac{2}{3} \cdot [ \log^3[\sin(x)] - \log^3[\sin(\pi}{2})]]$$

Sapendo che log^3[sin(pi/2)]=0

$$F(x) = 1+ \frac{2}{3} \cdot [ \log^3[\sin(x)] - 0]$$

$$F(x) = 1+ \frac{2}{3} \cdot \log^3[\sin(x)]$$

E così via.