Scomposizione di un trinomio di secondo grado
Un trinomio di secondo grado in forma canonica è un polinomio del tipo: $$ ax^2 + bx + c \qquad \text{con } a \ne 0 $$ Il problema della scomposizione consiste nel riscrivere il trinomio come prodotto di due fattori di primo grado, quando possibile.
Esistono diversi metodi di scomposizione.
Nota. La scelta del metodo dipende dalla forma del trinomio. In ogni caso l’obiettivo resta sempre lo stesso: ridurre l’espressione al prodotto di fattori, quando possibile.
Metodo delle radici (via discriminante)
È il metodo più generale e si applica sempre.
Calcolo il discriminante $ \Delta $
$$ \Delta = b^2 - 4ac $$
Poi analizzo i tre casi possibili:
- Se $\Delta > 0 $, il trinomio ha due radici reali distinte $x_1$, $x_2$. In questo caso posso scomporre il polinomio in questo modo $$ ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2) $$
- Se $\Delta = 0 $, il trinomio ha una radice reale doppia $x_0$. In questo caso la scomposizione è la seguente: $$
ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2) =a(x - x_0)^2 $$ - Se $\Delta < 0 $, il trinomio non ha radici reali ed è irriducibile sui reali, ma si può scomporre nei numeri complessi.
Esempio
Considero il trinomio
$$ x^2 - 5x + 6 $$
Ha la forma canonica $ ax^2 + bx + c $ con i seguenti coefficienti:
- $a = 1$
- $b = -5$
- $c = 6$
Il discriminante serve a verificare se il trinomio è scomponibile in fattori reali. La formula è:
$$ \Delta b^2-4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 $$
Essendo $\Delta > 0$, il trinomio ammette due radici reali distinte.
Quindi, calcolo le radici dell'equazione associata con la formula risolutiva:
$$ x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} $$
Sostituisco i valori dei coefficienti e ottengo:
$$ x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} $$
$$ x = \frac{5 \pm 1}{2} $$
$$ x = \begin{cases} x_1 = \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2} = 2 \\ \\ x_2 = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3 \end{cases} $$
Dato che le radici sono $x_1 = 2$ e $x_2 = 3$, la scomposizione del trinomio è:
$$ x^2 - 5x + 6 = (x - x_1)(x - x_2) = (x - 2)(x - 3) $$
Quindi, il trinomio scomposto in fattori è nella forma equivalente $ (x - 2)(x - 3) $
$$ x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) $$
Verifica del risultato. Eseguo il prodotto per controllare: $$ (x - 2)(x - 3) = x^2 - 3x - 2x + 6 = x^2 - 5x + 6
$$ Il risultato coincide col trinomio di partenza. Quindi, la scomposizione è corretta. La verifica è un'operazione facoltativa ma utile, evita di compiere errori di distrazione.
Metodo "somma e prodotto" (caso monico)
Questo metodo è valido solo quando il trinomio è monico, cioè quando il coefficiente del termine di secondo grado è uguale a uno $a = 1$.
$$ x^2 + bx + c $$
In questo caso, cerco numeri $p$ e $q$ tali che:
$$ \begin{cases} p + q = b \\ \\ \quad pq = c \end{cases} $$
Non è detto che esistano questi numeri.
Tuttavia, se esistono, la scomposizione del trinomio è immediata:
$$ x^2 + bx + c = (x + p)(x + q) $$
Pertanto, questo metodo non è generale, non funziona sempre, e si applica solo se il coefficiente del termine di secondo grado del trinomio è uguale a uno ( $ a=1 $ ).
Esempio
Considero il trinomio
$$ x^2 + 5x + 6 $$
Questo trinomio ha i seguenti coefficienti $ a = 1, \ b = 5, \ c = 6 $.
Essendo $a = 1$, applico il metodo basato sulla ricerca di due numeri $p$ e $q$ tali che:
$$ p + q = b \quad \text{e} \quad pq = c $$
Sostituisco i valori noti:
$$ p + q = 5, \quad pq = 6 $$
Cerco due numeri interi che soddisfano entrambe le condizioni.
Per farlo, elenco i divisori del numero $ pq=12 $ e cerco le coppie di interi $ p $ e $ q $ (anche composti o negativi) che restituiscono il prodotto $ pq=12 $ quelli che hanno come somma $ p+q=5 $.
In questo caso, il numero $ 12 $ ha i seguenti divisori $ 1, 2, 3, 4, 6, 12 $ e i relativi numeri negativi.
$$
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
p & q & pq = 12 & p + q \\
\hline
1 & 12 & 12 & 13 \\
-1 & -12 & 12 & -13 \\
2 & 6 & 12 & 8 \\
-2 & -6 & 12 & -8 \\
3 & 4 & 12 & \mathbf{7} \\
-3 & -4 & 12 & \mathbf{-7} \\
4 & 3 & 12 & \mathbf{7} \\
-4 & -3 & 12 & \mathbf{-7} \\
\mathbf{3} & \mathbf{2} & 12 & \mathbf{5} \quad \text{OK} \\
\hline
\end{array}
$$
In questo caso, solo la coppia $(3, 2)$ ha $p + q = 5$, quindi è quella corretta per scomporre il trinomio $x^2 + 5x + 6$
Quindi, utilizzando i valori trovati, $ p=3 $ , $ q=2 $ posso riscrivere il trinomio nella forma scomposta.
$$ x^2 + 5x + 6 = (x+p)(x+q)= (x+3)(x+2) $$
Il risultato finale è:
$$ x^2 + 5x + 6 = (x+3)(x+2) $$
Consiglio. Alcune strategie permettono di ridurre il numero dei tentativi nella ricerca delle coppie $ p $ e $ q $ tali che $ pq = c $ e $ p+q=b $. Spesso non serve controllare tutte le permutazioni.
- Cerco le coppie di interi solo i divisori interi di $ pq $.
- Se il prodotto $ pq>0 $ è positivo, considero solo le coppie con lo stesso segno (entrambi positivi o entrambi negativi).
- Se il prodotto $ pq<0 $ è negativo, considero solo le coppie con segno opposto (uno positivo e l'altro negativo).
- Se il prodotto $ pq<0 $ i due numeri hanno segno opposto, quindi il valore assoluto di $ b $ mi indica di quanto devono differire in valore assoluto i due numeri (differenza dei moduli) $ p $ e $ q $. $$ | b | = | |p| - |q| | $$ In questo modo posso concentrarmi direttamente sulle coppie che soddisfano questo requisito.
- E' utile ordinare le coppie in ordine crescente per un fattore (ad esempio $ p $ ). In questo modo, posso individuare la direzione da seguire (verso somme maggiori o minori) ed escludere più velocemente le coppie che non possono funzionare.
Metodo "pq = ac" (raccoglimento a blocchi)
Questo metodo è utile quando il trinomio $ ax^2 + bx+ c $ non è monico, cioè se $a \ne 1$.
$$ x^2 + bx + c \ \ \ \text{con } \ a \ne 1 $$
In questo caso devo cercare due numeri interi $p$ e $q$ tali che:
$$ \begin{cases} p + q = b \\ \\ pq = a \cdot c \end{cases} $$
Una volta trovati, spezzo il termine centrale $ bx $ in $px + qx$ e procedo con un raccoglimento a gruppi.
$$ x^2 + px + qx + c $$
Esempio
Devo scomporre il trinomio
$$ 6x^2 + 7x + 2$$
I coefficienti sono $ a = 6, b = 7, c = 2 $.
In questo caso il coefficiente $ a \ne 1 $, quindi posso applicare il metodo del "pq = ac" che è valido per trinomî non monici.
$$ ac = 6 \cdot 2 = 12 $$
Cerco due numeri interi $p$ e $q$ tali che:
$$ p + q = b = 7, \quad pq = ac = 12 $$
La coppia che soddisfa entrambe le condizioni è:
$$ p = 3, \quad q = 4 $$
Scompongo il termine centrale $7x$ come somma di $3x + 4x$:
$$ 6x^2 + 3x + 4x + 2 $$
Poi, raggruppo i termini a due a due e applico il raccoglimento parziale:
$$ (6x^2 + 3x) + (4x + 2) $$
$$ 3x(2x + 1) + 2(2x + 1) $$
Essendo il fattore comune $(2x + 1)$, raccolgo:
$$ (3x + 2)(2x + 1) $$
Pertanto, il risultato finale della scomposizione è
$$ 6x^2 + 7x + 2 = (3x + 2)(2x + 1) $$
Casi di prodotti notevoli
I prodotti notevoli sono forme conosciute che mi permettono di riconoscere a colpo d’occhio una scomposizione.
Questi casi richiedono però molta attenzione visiva oltre a una buona conoscenza dei prodotti notevoli.
- Quadrato di binomio
$$ A^2 + 2AB + B^2 = (A + B)^2 $$ $$ A^2 - 2AB + B^2 (A - B)^2 $$Esempio: $$ x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2 $$
- Cubo di un binomio
$$ A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3 = (A + B)^3 $$ $$ A^3 - 3A^2B + 3AB^2 - B^3 = (A - B)^3 $$Esempio: $$ x^3 + 6x^2 + 12x + 8 = (x + 2)^3 $$
- Differenza di quadrati $$ A^2 - B^2 = (A - B)(A + B) $$
Esempio $$ x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) $$
- Somma e differenza di cubi
Meno comuni a livello base, ma comunque da conoscere: $$ A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2) $$ $$ A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2) $$Esempio: $$ x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4) $$
I casi più frequenti da riconoscere a colpo d’occhio, in ambito scolastico, sono almeno due.
Tuttavia, per padroneggiare davvero le tecniche di scomposizione, è consigliabile conoscere almeno cinque o sei forme fondamentali di prodotti notevoli.
E così via.
