Il cubo di un binomio
Il cubo di un binomio (a+b)3 è un quadrinomio composto dalla somma algebrica dei cubi dei due termini, il triplo del quadrato del primo termine per il secondo, il triplo del quadrato del secondo termine per il primo. $$ (a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 $$
Un esempio pratico
Esempio 1
Considero un binomio elevato alla terza
$$ (2a+4b)^3 $$
Espando il cubo del binomio usando la formula iniziale
$$ (2a+4b)^3 = (2a)^3 + 3 \cdot (2a)^2 \cdot (4b) + 3 \cdot (2a) \cdot (4b)^2 + (4b)^3 $$
$$ (2a+4b)^3 = 8a^3 + 3 \cdot 4a^2 \cdot 4b + 3 \cdot 2a \cdot 16b^2 + 64b^3 $$
$$ (2a+4b)^3 = 8a^3 + (3 \cdot 4 \cdot 4) \cdot a^2b + (3 \cdot 2 \cdot 16) \cdot ab^2 + 64b^3 $$
$$ (2a+4b)^3 = 8a^3 + 48a^2b + 96ab^2 + 64b^3 $$
Esempio 2
Considero il cubo del binomio con il secondo termine negativo
$$ (2a-3b)^3 $$
$$ (2a-3b)^3 = (2a)^3 + 3 \cdot (2a)^2 \cdot (-3b) + 3 \cdot (2a) \cdot (-3b)^2 + (-3b)^3 $$
$$ (2a-3b)^3 = 8a^3 + 3 \cdot 4a^2 \cdot (-3b) + 3 \cdot 2a \cdot 9b^2 -27b^3 $$
$$ (2a-3b)^3 = 8a^3 + [3 \cdot 4 \cdot (-3)] \cdot a^2b + (3 \cdot 2 \cdot 9) \cdot ab^2 -27b^3 $$
$$ (2a-3b)^3 = 8a^3 - 36a^2b + 54ab^2 -27b^3 $$
La dimostrazione
Il cubo del binomio è il binomio moltiplicato per se stesso tre volte
$$ (a+b)^3 = (a+b) \cdot (a+b) \cdot (a+b) $$
Il che equivale a moltiplicare il binomio per il quadrato del binomio.
$$ (a+b)^3 = (a+b)^2 \cdot (a+b) $$
Il calcolo del quadrato del binomio è già dimostrato (vedi dimostrazione).
Quindi, applico la regola ed espando il quadrato del binomio
$$ (a+b)^3 = (a^2+2ab+b^2) \cdot (a+b) $$
Poi calcolo il prodotto algebrico tra i due termini dell'espressione
$$ (a+b)^3 = (a^2+2ab+b^2) \cdot a + (a^2+2ab+b^2) \cdot b $$
$$ (a+b)^3 = a^3+2a^2b+ab^2 + a^2b+2ab^2+b^3 $$
$$ (a+b)^3 = a^3+(2a^2b+ a^2b)+(ab^2 +2ab^2)+b^3 $$
In questo modo ottengo la formula del cubo del trinomio che volevo dimostrare.
$$ (a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 $$
E così via.
