Come dividere due polinomi

Dividere un polinomio dividendo A(x) per un polinomio divisore B(x) vuol dire trovare un polinomio quoziente Q(x) tale che $$ A(x) = B(x) \cdot Q(x) + R(x) $$ dove R(x) è un polinomio resto.

Per trovare il polinomio quoziente Q(x) seguo questo algoritmo

Scrivo il polinomio dividendo P(x) e il polinomio divisore Q(x) come se fosse una normale divisione.

la divisione tra polinomi

Nota. Se il polinomio divisore è di grado più alto rispetto al polinomio dividendo, il polinomio quoziente è Q(x)=0 e l'algoritmo termina qui.

Ad esempio, se la divisione è tra P(x)=x2+5x+7 e Q(x)=x+3

la divisione tra polinomi

Ora divido il monomio di grado più alto del dividendo P(x) per il monomio di grado più alto del divisore Q(x) e scrivo il quoziente nel risultato.

divido il monomio di grado più alto del polinomio dividendo per il monomio di grado più alto del polinomio divisore

In questo caso il monomio di grado più alto del polinomio dividendo è x2 mentre quello del polinomio divisore è x.

Il monomio quoziente è x2/x = x

il monomio quoziente è x

Ora moltiplico il monomio quoziente x per il polinomio divisore (x+3).

$$ x \cdot (x+3) = x^2 + 3x $$

Poi scrivo il polinomio prodotto x2+3x con segno opposto -(x2+3x) = -x2 -3x sotto al polinomio dividendo.

scrivo il polinomio prodotto sotto al polinomio dividendo

Infine traccio una linea e sommo il polinomio divisore x2+5x+7 con il polinomio -x2-3x

la somma tra i due polinomi

A questo punto ricomincio tutto daccapo.

Divido il monomio di grado più alto del polinomio 2x+7 con il monomio di grado più alto del polinomio divisore x+3.

divido il monomio di grado più alto del polinomio 2x+7 con quello di grado più alto del divisore x+3

In questo caso il monomio di grado più alto del polinomio 2x+7 è 2x mentre quello del polinomio divisore x+3 è x.

Il monomio quoziente è 2x/x = 2

il quoziente è x

Ora moltiplico il monomio quoziente 2 per il polinomio divisore (x+3).

$$ 2 \cdot (x+3) = 2x + 6 $$

Poi scrivo il polinomio prodotto 2x+6 con segno opposto -(2x+6) = -2x -6 sotto al polinomio 2x+7

scrivo -2x-6 sotto il polinomio 2x+7

Infine traccio una linea e sommo il polinomio -2x-6 con il polinomio x+2

il risultato della somma è 1

ll processo termina qui perché il polinomio resto (1) è di grado inferiore al polinomio divisore (x+3). Quindi, un'ulteriore divisione è impossibile.

Pertanto, il risultato della divisione è il polinomio quoziente Q(x)=x+2 con resto R(x)=1

il polinomio quoziente e il polinomio resot

Verifica. Verifico se il risultato è corretto. $$ Q(x) = x+2 $$ $$ R(x) = 1 $$ Il polinomio dividendo è uguale al prodotto tra il polinomio divisore e il polinomio quoziente più il resto $$ A(x) = B(x) \cdot Q(x) + R(x) $$ Sapendo che B(x)=x+3 , Q(x)= x+2 e R(x)=1 $$ A(x) = (x+3) \cdot (x+2) + 1 $$ Svolgo i calcoli. $$ A(x) = x^2 + 2x +3x +6 + 1 $$ $$ A(x) = x^2 + 5x +7 $$ Il risultato è il polinomio dividendo A(x)=x2+5x+7. Il risultato è corretto.

E così via.

 


 

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