La divisione tra polinomi

Cos'è la divisione tra due polinomi

Dividere un polinomio A(x) per un polinomio B(x) $$ A(x):B(x) $$ vuol dire trovare un polinomio quoziente Q(x) tale che $$ A(x) = B(x) \cdot Q(x) + R $$ dove A(X) è il polinomio "dividendo", B(x) è il polinomio "divisore", R è il polinomio resto.

Se il resto della divisione è nullo (R=0), allora il polinomio A(x) è divisibile per il polinomio B(x).

$$ A(x):B(x) = \frac{A(x)}{B(x)} = Q(x) \ \ \ \text{con R=0} $$

In caso contrario, se il resto non è nullo, il polinomio A(x) non è divisibile per il polinomio B(x)

Nota. La divisione tra due polinomi A(x):B(x) è sempre una frazione algebrica ma non è detto che sia anche un polinomio. $$ A(x):B(x) = \frac{A(x)}{B(x)} $$ La divisione tra due polinomi è un polinomio solo nel caso in cui il risultato della divisione è un polinomio quoziente Q(x) con resto nullo R=0. Ad esempio, la divisione tra i polinomi x+1 e x-1 non è un polinomio $$ \frac{x+1}{x-1} $$ perché il resto della divisione non è nullo (R=2). Pertanto il rapporto (x+1)/(x-1) non è polinomio ma è comunque una frazione algebrica.
il resto della divisione non è nullo, quindi il risultato non è un polinomio

Come dividere due polinomi

Per trovare il polinomio quoziente Q(x) seguo questo algoritmo

Scrivo il polinomio dividendo P(x) e il polinomio divisore Q(x) come se fosse una normale divisione.

la divisione tra polinomi

Nota. Se il polinomio divisore è di grado più alto rispetto al polinomio dividendo, il polinomio quoziente è Q(x)=0 e l'algoritmo termina qui.

Ad esempio, se la divisione è tra P(x)=x2+5x+7 e Q(x)=x+3

la divisione tra polinomi

Ora divido il monomio di grado più alto del dividendo P(x) per il monomio di grado più alto del divisore Q(x) e scrivo il quoziente nel risultato.

divido il monomio di grado più alto del polinomio dividendo per il monomio di grado più alto del polinomio divisore

In questo caso il monomio di grado più alto del polinomio dividendo è x2 mentre quello del polinomio divisore è x.

Il monomio quoziente è x2/x = x

il monomio quoziente è x

Ora moltiplico il monomio quoziente x per il polinomio divisore (x+3).

$$ x \cdot (x+3) = x^2 + 3x $$

Poi scrivo il polinomio prodotto x2+3x con segno opposto -(x2+3x) = -x2 -3x sotto al polinomio dividendo.

scrivo il polinomio prodotto sotto al polinomio dividendo

Infine traccio una linea e sommo il polinomio divisore x2+5x+7 con il polinomio -x2-3x

la somma tra i due polinomi

A questo punto ricomincio tutto daccapo.

Divido il monomio di grado più alto del polinomio 2x+7 con il monomio di grado più alto del polinomio divisore x+3.

divido il monomio di grado più alto del polinomio 2x+7 con quello di grado più alto del divisore x+3

In questo caso il monomio di grado più alto del polinomio 2x+7 è 2x mentre quello del polinomio divisore x+3 è x.

Il monomio quoziente è 2x/x = 2

il quoziente è x

Ora moltiplico il monomio quoziente 2 per il polinomio divisore (x+3).

$$ 2 \cdot (x+3) = 2x + 6 $$

Poi scrivo il polinomio prodotto 2x+6 con segno opposto -(2x+6) = -2x -6 sotto al polinomio 2x+7

scrivo -2x-6 sotto il polinomio 2x+7

Infine traccio una linea e sommo il polinomio -2x-6 con il polinomio x+2

il risultato della somma è 1

ll processo termina qui perché il polinomio resto (1) è di grado inferiore al polinomio divisore (x+3). Quindi, un'ulteriore divisione è impossibile.

Pertanto, il risultato della divisione è il polinomio quoziente Q(x)=x+2 con resto R=1

il polinomio quoziente e il polinomio resot

In questo caso il risultato non è un polinomio perché il resto non è nullo (R=1).

Verifica. Verifico se il risultato è corretto. $$ Q(x) = x+2 $$ $$ R(x) = 1 $$ Il polinomio dividendo è uguale al prodotto tra il polinomio divisore e il polinomio quoziente più il resto $$ A(x) = B(x) \cdot Q(x) + R(x) $$ Sapendo che B(x)=x+3 , Q(x)= x+2 e R(x)=1 $$ A(x) = (x+3) \cdot (x+2) + 1 $$ Svolgo i calcoli. $$ A(x) = x^2 + 2x +3x +6 + 1 $$ $$ A(x) = x^2 + 5x +7 $$ Il risultato è il polinomio dividendo A(x)=x2+5x+7. Il risultato è corretto.

Esempio 2

Considero la divisione tra due polinomi A(x):-3x4+14x3-13x2+2 e B(x): 3x2-2x-1

la divisione tra due polinomi

In questo caso il polinomio quoziente è -x2+4x-2 con resto R=0

Quindi, il risultato della divisione è a sua volta un polinomio.

Verifica. Verifico se il risultato è corretto. $$ Q(x) = -x^2+4x-2 $$ $$ R(x) = 0 $$ Il polinomio dividendo è uguale al prodotto tra il polinomio divisore e il polinomio quoziente più il resto $$ A(x) = B(x) \cdot Q(x) + R(x) $$ Sapendo che B(x)=3x2-2x-1 , Q(x)= -x2+4x-2 e R(x)=0 $$ A(x) = (3x^2-2x-1) \cdot (-x^2+4x-2) + 0 $$ Svolgo i calcoli. $$ A(x) = -3x^4+2x^3+x^2+12x^3-8x^2-4x-6x^2+4x+2 $$ $$ A(x) = -3x^4 + 14x^3 - 13x^2 +2 $$ Il risultato è il polinomio dividendo A(x)=-3x4+14x3-13x2+2. Il risultato è corretto.

La regola di Ruffini

La regola di Ruffini è un procedimento alternativo per calcolare la divisione tra i polinomi quando il polinomio al divisore è un binomio del tipo x-k $$ \frac{P(x)}{(x-k)} $$

Si applica solo se il divisore è un binomio (x-k) dove k è un numero reale qualsiasi.

Quindi, a differenza del metodo precedente, la regola di Ruffini non è un metodo generale per calcolare la divisione polinomiale.

Esempio

Devo calcolare la divisione è tra P(x)=x2+5x+7 e Q(x)=x+3

$$ \frac{x^2+5x+7}{x+3} $$

Il divisore è un binomio del tipo (x-k) con k=-3, quindi posso usare la regola di Ruffini.

Scrivo sulla prima riga i coefficienti del polinomio dividendo con il termine noto (7) dopo la seconda linea verticale.

$$ \begin{array}{c|lc|r} & 1 & 5 & 7 \\ & & & \\ \hline & & & \end{array} $$

Scrivo sulla seconda riga il valore opposto del termine noto del polinomio divisore prima della prima linea verticale.

In questo caso il termine noto del divisore è 3, quindi il suo valore opposto è -3

$$ \begin{array}{c|lc|r} & 1 & 5 & 7 \\ \color{red}{-3}& & & \\ \hline & & & \end{array} $$

Faccio scendere il primo coefficiente sulla prima riga fino alla terza riga.

$$ \begin{array}{c|lc|r} & 1 & 5 & 7 \\ -3& & & \\ \hline &\color{red}{1} & & \end{array} $$

Poi moltiplico il coefficiente appena sceso (1) sulla terza riga per -3 e scrivo il risultato nella seconda riga della colonna successiva

$$ \begin{array}{c|lc|r} & 1 & 5 & 7 \\ -3& & \color{red}{-3 \cdot 1} & \\ \hline &1 & & \end{array} $$

$$ \begin{array}{c|lc|r} & 1 & 5 & 7 \\ -3& & \color{red}{-3} & \\ \hline &1 & & \end{array} $$

Calcolo la somma algebrica della seconda colonna e scrivo il risultato sulla terza riga.

$$ \begin{array}{c|lc|r} & 1 & 5 & 7 \\ -3& & -3 & \\ \hline &1 & \color{red}{5-3} & \end{array} $$

$$ \begin{array}{c|lc|r} & 1 & 5 & 7 \\ -3& & -3 & \\ \hline &1 & \color{red}{2} & \end{array} $$

Poi moltiplico la somma (2) per -3 e scrivo il risultato nella seconda riga della colonna successiva

$$ \begin{array}{c|lc|r} & 1 & 5 & 7 \\ -3& & -3 & \color{red}{ -3 \cdot2} \\ \hline &1 & 2 & \end{array} $$

$$ \begin{array}{c|lc|r} & 1 & 5 & 7 \\ -3& & -3 & \color{red}{-6} \\ \hline &1 & 2 & \end{array} $$

Calcolo la somma algebrica della terza colonna e scrivo il risultato sulla terza riga.

$$ \begin{array}{c|lc|r} & 1 & 5 & 7 \\ -3& & -3 & -6 \\ \hline &1 & 2 & \color{red}{7-6} \end{array} $$

$$ \begin{array}{c|lc|r} & 1 & 5 & 7 \\ -3& & -3 & -6 \\ \hline &1 & 2 & \color{red}{1} \end{array} $$

I valori tra le barre verticali sono i coefficienti del polinomio quoziente mentre il valore dopo la seconda barra verticale è il resto della divisione.

Considerando che il polinomio dividendo x2+5x+7 è di grado 2 e il polinomio divisore x+3 è di grado 1, il polinomio quoziente deve essere di grado 1

$$ Q(x) = x+2 $$

$$ R=1 $$

Nota. Il polinomio quoziente è sempre di grado inferiore rispetto al polinomio dividendo. Il grado del polinomio quoziente è uguale alla differenza tra il grado del polinomio dividendo e quello del polinomio divisore. In questo caso il grado del polinomio dividendo x2+5x+7 è 2 mentre il grado del polinomio divisore x+3 è 1, quindi il polinomio quoziente è di grado 1 (ossia 2-1)

E così via.

 


 

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