Il raccoglimento parziale a fattore comune

Il raccoglimento parziale è un metodo di fattorizzazione e scomposizione in fattori di un polinomio che si applica quando alcuni termini di un polinomio hanno lo stesso fattore comune (numero o lettera). Si applica mettendo in evidenza il fattore comune. $$ ac+ad+bc = a \cdot (c+d) + bc $$

Come nel raccoglimento totale anche il raccoglimento parziale si basa sull'applicazione della proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione.

Tuttavia, a differenza del raccoglimento totale a fattore comune, il raccoglimento parziale coinvolge solo alcuni termini del polinomio ma non tutti.

In alcuni casi particolari posso ottenere anche un raccoglimento totale dopo una serie di raccoglimenti parziali.

$$ (a+b) \cdot (c+d) $$ $$ a \cdot (c+d) + b \cdot (c+d) $$ $$ ac+ad+bc+bd $$

Nota. I passaggi algebrici del raccoglimento parziale o totale sono gli stessi passaggi della moltiplicazione tra due polinomi visti però nel verso opposto. $$ (a+b) \cdot (c+d) $$ $$ a \cdot (c+d) + b \cdot (c+d) $$ $$ ac+ad+bc+bd $$

Un esempio pratico

Esempio 1

Considero il polinomio

$$ 3ab - 4bc + cd $$

I primi due termini del polinomio 3ab e 4bc hanno come fattore comune la lettera b

$$ 3a \color{red}b - 4 \color{red}bc + cd $$

Per fattorizzare il polinomio raccolgo la lettera b a fattore comune

$$ b \cdot (3a - 4c) + cd $$

Essendo un raccoglimento che coinvolge solo alcuni termini del polinomio ma non tutti, si tratta di un raccoglimento parziale.

Esempio 2

Considero il polinomio

$$ 6ac-12bd+9bc-8ad $$

Due monomi del polinomio 6ac e -8ad hanno lo stesso fattore (a).

$$ 6\color{red}ac-12bd+9bc-8\color{red}ad $$

Quindi procedo a raccogliere parzialmente il fattore comune la lettera a.

$$ a \cdot (6c-8d)-12bd +9bc$$

Dopo il raccoglimento parziale mi accorgo che anche i termini del binomio (6c-8d) hanno come fattore comune il numero 2 perché entrambi i monomi sono divisibili per due.

Quindi, posso raccogliere a fattore comune il numero 2.

$$ a \cdot (6c-8d)-12bd +9bc$$

$$ a \cdot (\color{red}2 \cdot 3c- \color{red}2 \cdot 4d)-12bd +9bc$$

$$ 2a \cdot (3c-4d)-12bd +9bc$$

I monomi -12bd e 9bc hanno lo stesso fattore comune (b).

$$ 2a \cdot (3c-4d)-12\color{red}bd +9\color{red}bc$$

Anche in questo caso procedo al raccoglimento parziale della lettera b.

$$ 2a \cdot (3c-4d)+b \cdot (9c-12d) $$

I termini del binomio (9c-12d) sono entrambi divisibili per tre.

Quindi, posso raccogliere a fattore comune il numero 3.

$$ 2a \cdot (3c-4d)+b \cdot (9c-12d) $$

$$ 2a \cdot (3c-4d)+b \cdot (\color{red}3 \cdot 3c- \color{red}3 \cdot 4d) $$

$$ 2a \cdot (3c-4d)+3b \cdot (3c- 4d) $$

A questo punto mi accorgo che nel polinomio c'è anche un raccoglimento totale a fattore comune perché i monomi 2a e 3b sono entrambi moltiplicati per lo stesso binomio (3c-4d).

$$ 2a \cdot \color{red}{(3c-4d)} +3b \cdot \color{red}{(3c- 4d)} $$

Quindi, procedo al raccoglimento totale dei termini

$$ (2a + 3b) \cdot (3c-4d) $$

Ora il polinomio è ridotto alla sua forma fattorizzata ed è irriducibile.

Nota. Complessivamente, per fattorizzare questo polinomio in una forma irriducibile ho effettuato quattro raccoglimenti parziali e un raccoglimento totale.

E così via.