Polinomio completo
Il polinomio è detto polinomio completo rispetto a una variabile, se ha tutte le potenze della variabile in questione dal grado più alto fino a quella di grado zero.
Ad esempio, questo polinomio è completo rispetto alla lettera "x" perché sono presenti tutte le potenze della x dal grado massimo (3) al grado zero ossia x3 ,x2 , x1, x0
$$ 4x^3 + 3x^2 -x + 3 $$
Nota. Il termine noto del polinomio posso considerarlo come il coefficiente della potenza di grado zero di qualsiasi lettera. $$ 3 = 3 \cdot 1 = 3 \cdot x^0 $$ Quindi, il polinomio precedente $$ 4x^3 + 3x^2 -x + 3 $$ posso scriverlo anche in questa forma ridondante ma equivalente $$ 4x^3 + 3x^2 -x^1 + 3x^0 $$ In quest'ultima forma è più evidente la presenza di tutte le potenze della x dal grado massimo (3) al grado zero.
Anche quando il termine noto non compare, posso considerarlo uguale a zero.
Ad esempio, questo polinomio non ha il termine noto
$$ x^4 + 2x^3 -x^2 +3x $$
Quindi, mancherebbe il grado zero della lettera x.
Posso però riscriverlo in questa forma equivalente con il termine noto uguale a 0 dove $ 0 = 0 \cdot x^0 $.
$$ x^4 + 2x^3 -x^2 +3x + 0 \cdot x^0 $$
Pertanto, anche quest'ultimo polinomio è completo rispetto alla lettera x.
Nota. Va detto che la definizione di "polinomio completo" non segue una convenzione generale e varia a seconda degli autori. In molti libri si definisce "polinomio completo" un’espressione in cui compaiono tutte le potenze da quella massima a x0, indipendentemente dal fatto che qualche coefficiente sia 0. In questi casi $ x^4 + 2x^3 -x^2 +3x $ è considerato completo. Altri autori, invece, usano “completo” per indicare la presenza di tutti i gradi di una variabile con coefficienti diversi da zero. In questa seconda accezione, il polinomio $ x^4 + 2x^3 -x^2 +3x $ sarebbe “non completo” perché il coefficiente costante è nullo. Personalmente adotto la prima accezione.
Ne consegue che un polinomio completo di grado n ha almeno n+1 termini.
Ad esempio, questo polinomio è di quarto grado e ha cinque termini.
$$ x^4 + 2x^3 -x^2 +3x + 0 $$
Potrebbe anche averne di più di n+1 se fossero presenti altre lettere oltre alla "x".
Ad esempio, quest'altro polinomio è di quarto grado ed è completo rispetto alla lettera "x" ma ha sei termini perché c'è anche un monomio con la lettera "y" senza la "x"
$$ x^4y^3 + 2x^3y^2 -x^2 +3x + 2y + 0 $$
Come già anticipato, la disposizione dei termini è indifferente in un polinomio completo.
Quindi, potrei avere sia un polinomio completo e ordinato
$$ x^4 + 2x^3 -x^2 +3x + 3 $$
Sia un polinomio completo ma non ordinato
$$ 3x + x^4 -x^2 + 3 + 2x^3 $$
In entrambi i casi il polinomio è completo.
E così via.
