Polinomio completo
Il polinomio è detto polinomio completo rispetto a una lettera, se ha tutte le potenze della lettera in questione dal grado più alto fino allo zero.
Ad esempio, questo polinomio è completo rispetto alla lettera "x" perché sono presenti tutte le potenze della x dal grado massimo (3) al grado zero ossia x3 ,x2 , x1, x0
$$ 4x^3 + 3x^2 -x + 3 $$
Nota. Il termine noto del polinomio posso considerarlo come il coefficiente della potenza di grado zero di qualsiasi lettera. $$ 3 = 3 \cdot 1 = 3 \cdot x^0 $$ Quindi, il polinomio precedente $$ 4x^3 + 3x^2 -x + 3 $$ posso scriverlo anche in questa forma ridondante ma equivalente $$ 4x^3 + 3x^2 -x^1 + 3x^0 $$ In quest'ultima forma è più evidente la presenza di tutte le potenze della x dal grado massimo (3) al grado zero.
Anche quando il termine noto non compare, posso considerarlo uguale a zero.
Ad esempio, questo polinomio non ha il termine noto
$$ x^4 + 2x^3 -x^2 +3x $$
Quindi, mancherebbe il grado zero della lettera x.
Posso però riscriverlo in questa forma equivalente con il termine noto uguale a 0.
$$ x^4 + 2x^3 -x^2 +3x + 0 $$
Pertanto, anche quest'ultimo polinomio è completo rispetto alla lettera x.
Nota. Ne consegue che un polinomio completo di grado n ha almeno n+1 termini. Ad esempio, questo polinomio è di quarto grado e ha cinque termini. $$ x^4 + 2x^3 -x^2 +3x + 0 $$ Potrebbe anche averne di più di n+1 se fossero presenti altre lettere oltre alla "x". Ad esempio, questo polinomio è di quarto grado ed è completo rispetto alla lettera "x" ma ha sei termini perché c'è anche un monomio con la lettera "y" senza la "x" $$ x^4y^3 + 2x^3y^2 -x^2 +3x + 2y + 0 $$
Come già anticipato, la disposizione dei termini è indifferente in un polinomio completo.
Quindi, potrei avere sia un polinomio completo e ordinato
$$ x^4 + 2x^3 -x^2 +3x + 3 $$
Sia un polinomio completo ma non ordinato
$$ 3x + x^4 -x^2 + 3 + 2x^3 $$
In entrambi i casi il polinomio è completo.
E così via.
