Zeri di un polinomio
Gli zeri (o radici) di un polinomio P(x) sono i valori della x che annullano il polinomio $$ P(x) = 0 $$
Un polinomio può avere uno o più zeri oppure nessuno.
A seconda dei casi gli zeri del polinomio possono essere numeri interi, razionali, reali o complessi.
Un esempio pratico
Considero il polinomio
$$ P(x) = x + 2 $$
Per trovare gli zeri devo eguagliarlo a zero P(x)=0 e risolvere l'equazione
$$ x + 2 = 0 $$
Per la proprietà invariantiva delle equazioni sommo lo stesso numero -2 in entrambi i membri
$$ x + 2 -2 = 0 - 2 $$
$$ x = - 2 $$
Il polinomio si annulla quando quando x=-2
Pertanto, x=-2 è uno zero del polinomio.
Nota. In particolar modo è uno zero intero perché -2 è un numero appartenente all'insieme dei numeri interi.
Come trovare gli zeri di un polinomio
Per trovare gli zeri del polinomio P(x) lo eguaglio a zero $$ P(x)=0 $$ Poi risolvo l'equazione.
Questo metodo mi permette di trovare gli zeri di qualsiasi polinomio.
Tuttavia, non è il metodo più rapido per i polinomi di grado superiore al secondo, perché i calcoli algebrici necessari per risolvere le rispettive equazioni si complicano.
Fortunatamente esistono anche tecniche e algoritmi per trovare gli zeri interi e razionali.
Nota. Gli algoritmi che seguono semplificano di gran lunga la ricerca degli zeri ma non sono completi come il precedente, perché trovano solo gli zeri interi o gli zeri razionali. Quindi, non trovano eventuali zeri irrazionali del polinomio. Tuttavia, per gran parte dei calcoli algebrici vanno bene anche gli zeri interi o al massimo quelli razionali.
1] Metodo per trovare gli zeri interi
Gli zeri interi di un polinomio P(x) a coefficienti interi vanno cercati tra i divisori del termine noto del polinomio.
Si applica solo se un polinomio è a coefficienti interi e trova soltanto gli zeri interi del polinomio, ossia gli zeri per valori dell'incognita x appartenenti all'insieme dei numeri interi.
Quindi, se il polinomio ha zeri razionali o reali, questo algoritmo non li trova.
Esempio
Considero questo polinomio di quarto grado a coefficienti interi
$$ P(x): 3x^4+6x^2+5x-4 $$
Provo a cercare gli zeri interi del polinomio senza risolvere l'equazione.
In questo caso il termine noto del polinomio è -4
I divisori del termine noto (-4) sono
$$ D_n = \{ 1, -1, 2, -2, 4, -4 \} $$
Verifico a uno a uno se almeno uno di questi annulla il polinomio
$$ P(1) = 3(1)^4+6(1)^2+5(1) -4 = 10 $$
$$ P(-1) = 3(-1)^4+6(-1)^2+5(-1) -4 = 0 $$
Ho trovato uno zero intero del polinomio.
Si tratta di x = -1
Nota. In genere basta trovare uno zero del polinomio. Quindi, è preferibile iniziare la ricerca con i divisori più bassi perché i calcolo sono relativamente più semplici. Una volta trovato lo zero, la ricerca termina qui. In questo caso elaboro anche gli altri divisori per completezza $$ P(2)=78 \\ P(-2)= 58 \\ P(4) = 880 \\ P(-4) = 840 $$ Gli altri divisori non hanno trovato altri zeri interi del polinomio. Questo però non vuol dire che non ci siano altri zeri razionali o reali del polinomio.
2] Metodo per trovare gli zeri razionali
Gli zeri razionali di un polinomio P(x) a coefficienti interi vanno cercati tra le frazioni composte dai divisori del termine noto fratto i divisori del coefficiente del termine di grado maggiore del polinomio. $$ \frac{ \text{divisori del termine noto} }{ \text{divisori del coefficiente del termine di grado maggiore} } $$
Questo metodo si applica solo se un polinomio è a coefficienti interi e trova soltanto gli zeri razionali del polinomio ossia gli zeri nei numeri razionali.
Quindi, se il polinomio ha zeri irrazionali o nei numeri complessi, questo algoritmo non li trova.
Esempio
Considero questo polinomio di secondo grado a coefficienti interi
$$ P(x): \ 8x^2-6x-2 $$
Il termine noto del polinomio è -2
Il coefficiente del termine di grado maggiore (8x2) è 8
Per prima cosa trovo i divisori di -2 e 8
$$ D(-2) = \{ 1, -1, 2, -2 \} $$
$$ D(8) = \{ 1, -1, 2, -2, 4, -4, 8, -8 \} $$
Poi elenco tutte le combinazioni possibili di frazioni ponendo sempre i divisori del termine noto al numeratore e quelli del coefficiente del termine di grado maggiore al denominatore.
$$ F = \{ \frac{1}{1}, \frac{1}{-1}, \frac{1}{2} , \frac{1}{-2} , \frac{1}{4} , \frac{1}{-4}, \frac{1}{8} , \frac{1}{-8}, \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{-1}{1}, \frac{-1}{-1}, \frac{-1}{2} , \frac{-1}{-2} , \frac{-1}{4} , \frac{-1}{-4}, \frac{-1}{8} , \frac{-1}{-8}, \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{2}{1}, \frac{2}{-1}, \frac{2}{2} , \frac{2}{-2} , \frac{2}{4} , \frac{2}{-4}, \frac{2}{8} , \frac{2}{-8} , \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{-2}{1}, \frac{-2}{-1}, \frac{-2}{2} , \frac{-2}{-2} , \frac{-2}{4} , \frac{-2}{-4}, \frac{-2}{8} , \frac{-2}{-8} , \} $$
Semplifico le frazioni ed elimino quelle duplicate
$$ F = \{ \frac{1}{2} , -\frac{1}{2} , \frac{1}{4} , -\frac{1}{4}, \frac{1}{8} , - \frac{1}{8}, 1, -1, 2, -2 \} $$
Se il polinomio ha zeri nei numeri razionali sono compresi in questo insieme.
A questo punto inizio a cercarli sostituendo la x con uno di questi valori uno dopo l'altro
$$ P( \frac{1}{2} ) = -3 \\ P( -\frac{1}{2} ) = 3 \\ P( \frac{1}{4} ) = -3 \\ P( -\frac{1}{4} ) = 0 $$
Ho trovato uno zero razionale del polinomio.
Si tratta di x = -1/4
Nota. I numeri interi sono un sottoinsieme dei numeri razionali. Quindi, questo algoritmo è più completo rispetto all'algoritmo precedente.
3] Metodo per trovare gli zeri reali
Quando tutti questi metodi falliscono, posso ricorrere a qualche algoritmo di calcolo numerico che restituiscono una soluzione reale approssimata (ovvero non esatta ma accettabile).
Ad esempio, il metodo di Newton-Raphson approssima una radice reale del polinomio.
Questo metodo richiede però la conoscenza delle derivate di una funzione.
E così via.
