Scomposizione con il cambio di variabile
Il metodo della variabile temporanea (o metodo del cambio di variabile) è una tecnica utile per semplificare la struttura apparente di un polinomio e applicare una scomposizione già nota.
In particolar modo, è molto utile per riconoscere la struttura di un trinomio di secondo grado nascosto dentro espressioni di grado superiore.
Come funziona?
- Identifico una parte dell’espressione da sostituire con una variabile temporanea, ad esempio: $$ t = x^2 \quad \text{o} \quad t = x^3 \quad \text{o} \quad t = x^2 + 1 $$
- Riscrivo il polinomio in funzione della nuova variabile $t$
- Applico una scomposizione (discriminante, somma e prodotto, prodotti notevoli)
- Sostituisco la variabile temporanea con l'espressione originale
L'obiettivo è ricondurre un’espressione polinomiale di grado superiore alla forma classica del trinomio di secondo grado, per poi applicare una scomposizione nota.
Nota. Il metodo funziona solo se tutti i termini si adattano alla stessa sostituzione. Se i gradi non sono coerenti o i termini non permettono una sostituzione uniforme, non si può applicare. È particolarmente efficace per polinomî simmetrici o a gradi doppi come $x^4, x^2, 1$.
Un esempio pratico
Esempio 1
Considero un polinomio in forma quadratica
$$ x^4 + 5x^2 + 6 $$
Introduco una variabile temporanea $ t = x^2 $ nel polinomio
$$ x^4 + 5x^2 + 6 = t^2 + 5t + 6 $$
Il polinomio con la variabile temporanea è di secondo grado e posso scomporlo facilmente con il metodo somma e prodotto.
$$ t^2 + 5t + 6 = (t + 2)(t + 3) $$
Nota. Secondo il metodo somma e prodotto, in un polinomio di secondo grado in cui il termine quadratico ha coefficiente unitario $ t^2+bt+c $, se esistono due numeri $ p $ e $ q $ tali che $ p+q=b $ e $ pq=c $, allora il polinomio può essere scomposto nella forma equivalente $ t^2+bt+c = (t+p)(t+q) $. Nel caso del polinomio $ t^2 + 5t + 6 $ i numeri interi $ p=2 $ e $ q=3 $ soddisfano queste condizioni.
Infine, sostituisco la variabile temporanea con quella originale.
$$ (t + 2)(t + 3) = (x^2 + 2)(x^2 + 3) $$
Pertanto il risultato della scomposizione è:
$$ (x^2 + 2)(x^2 + 3) $$
Esempio 2
In questo caso utilizzo un polinomio forma quadratica in $x^3$
$$ x^6 - 7x^3 + 10 $$
Introduco la variabile temporanea $ t = x^3 $
$$ t^2 - 7t + 10 $$
Ora il polinomio è di secondo grado e posso scomporlo usando il metodo somma e prodotto (o qualsiasi altro metodo di scomposizione).
$$ t^2 - 7t + 10 = (t - 2)(t - 5) $$
Una volta scomposto, sostituisco la variabile temporanea con quella originale $ t = x^3 $
$$ (t - 2)(t - 5) = (x^3 - 2)(x^3 - 5) $$
Quindi, il risultato della scomposizione è:
$$ (x^3 - 2)(x^3 - 5) $$
E così via.
