La fattorizzazione dei polinomi

La fattorizzazione di un polinomio è la scomposizione di un polinomio P(x) in un prodotto di due o più fattori di grado inferiore. $$ P_n(x) = A_s(x) \ \cdot B_t(x) \ \ \ \ \ con \ \ n=s+t $$

Un polinomio P(x) in una o più variabili è detto polinomio riducibile quando posso scomporlo nel prodotto di polinomi di grado inferiore

Viceversa, se non può essere scomposto è detto polinomio irriducibile.

Nel caso dei polinomi irriducibili la scomposizione in fattori è unica.

A cosa serve? La fattorizzazione è molto utile nello studio delle equazioni di grado superiore al secondo perché mi permette di studiare le soluzioni delle equazioni di grado n>2 tramite la legge di annullamento del prodotto. Oltre a questo ha diverse applicazioni pratiche nella risoluzione dei problemi algebrici e in generale dei problemi matematici di ogni tipo, elementari o complessi.

I metodi di scomposizione di un polinomio

Esistono diversi metodi per la scomposizione di un polinomio riducibile ma non esiste un metodo generale.

Quindi, devo valutare caso per caso quale metodo adottare.

Ecco le principali regole di scomposizione

• Raccoglimento a fattore comune
  Se tutti i termini del polinomio contengono lo stesso fattore comune (numero o lettera), posso applicare la legge distributiva della moltiplicazione sull'addizione e raccogliere il fattore comune (x) mettendolo in evidenza $$ xa+xb = x \cdot (a+b) $$

  Esempio. Tutti i termini del seguente polinomio contengono il fattore x $$ 2x^3 - 5x^2 + x $$ Raccolgo il fattore comune (x) e lo metto in evidenza $$ x \cdot (2x^2-5x+1) $$ In questo modo ottengo il prodotto tra un polinomio di primo grado (x) e un polinomio di secondo grado (2x²-5x+1). In questa forma diventa molto più semplice capire quando il polinomio si annulla perché basta applicare la legge dell'annullamento del prodotto.

• Raccoglimento parziale
  Se alcuni termini del polinomio hanno lo stesso fattore comune (numero o lettera) posso applicare la legge distributiva della moltiplicazione sull'addizione soltanto sui termini coinvolti e raccogliere il fattore comune $$ xa + xb - yc = x \cdot (a+b) -yc $$

  Esempio. In questo polinomio due termini hanno lo stesso fattore comune $$ 3x^2 - 4x + 5 $$ Raccolgo il fattore comune (x) e lo metto in evidenza $$ x \cdot (3x-4) + 5 $$ In questo caso il raccoglimento a fattore comune coinvolge solo alcuni termini del polinomio ma non tutti.

• Prodotti notevoli
  I prodotti notevoli della moltiplicazione tra polinomi sono un altro modo per fattorizzare un polinomio. Ad esempio,
  • il quadrato di un binomio $$ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $$ $$ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $$
  • il cubo di un binomio $$ (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 $$ $$ (a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 $$
  • la differenza di due quadrati $$ a^2 - b^2 = (a+b) \cdot (a-b) $$
  • la somma e la differenza di cubi $$ x^3-a^3 = (x-a) \cdot (x^2+ax+a^2) $$ $$ x^3+a^3 = (x+a) \cdot (x^2-ax+a^2) $$
  • il quadrato di un trinomio $$ (a+b+c)^2 = a^2 + b^2 +c^2+ 2ab +2ac + 2bc $$
  • il trinomio di 2° grado (caso particolare) $$ x^2+(a+b) \cdot x+ ab = (x+a) \cdot (x+b) $$

  Esempio. Questo polinomio è chiaramente l'espansione di un quadrato $$ x^2 - 4x + 2 $$ Applico in senso inverso la regola del quadrato di un binolio $$ x^2 - 4x + 2 = (x-2)^2 $$ Sapendo il quadrato del binomio è il moltiplicato per se stesso posso anche scrivere $$ x^2 - 4x + 2 = (x-2)^2 = (x-2) \cdot (x-2) $$ In questo modo ho fattorizzato il polinomio fino alla sua una forma irriducibile.

• Regola di Ruffini
  Un polinomio P(x) può essere scomposto nel prodotto tra due polinomi (x-k)·Q(x) se k è uno zero del polinomio ossia P(k)=0. $$ P(x) = (x-k) \cdot Q(x) $$

  Esempio. Considero il polinomio $$ x^2 - 4x + 3 $$ Cerco uno zero del polinomio P(k)=0 ossia un valore x=k che annulli il polinomio x²-4x+3=0. In questo caso il coefficiente del termine di grado maggiore è uno, quindi posso cercare gli zeri tra i divisori del termine noto che in questo caso è 3. I divisori interi di 3 sono 1, -1, 3, -3. Il polinomio si annulla per x=1. Pertanto, k=1 è uno zero del polinomio. Evito di cercarne altri. $$ x^2 - 4x + 3 = (x-1) \cdot Q(x) $$ A questo punto mi resta solo da calcolare il polinomio quoziente Q(x) tramite la divisione tra polinomi. $$ \begin{array}{c|lc|r} & 1 & -4 & 3 \\ 1 & & 1 & -3 \\ \hline & 1 & -3 & 0 \end{array} $$ In questo caso il polinomio quoziente è Q(x) = x-3. Pertanto, in base alla regola di Ruffini la fattorizzazione del polinomio iniziale è (x-1)·(x-3) $$ x^2 - 4x + 3 = (x-1) \cdot (x-3) $$

  Verifica. Per verificare il risultato seguo il procedimento inverso, calcolo la moltiplicazione tra i due binomi $$ (x-1) \cdot (x-3) = x^2 -3x-x+3 = x^2-4x+3 $$ Il risultato è il polinomio iniziale. Quindi, la fattorizzazione è corretta.

Un esempio pratico

Esempio 1

Considero il polinomio di quarto grado (n=4)

$$ x^4-1 $$

Posso scomporre il polinomio nel prodotto di due fattori (x²-1) e (x²+1)

$$ x^4-1 = (x^2-1) \cdot (x^2+1) $$

I due polinomi fattori (x²-1) e (x²+1) sono entrambi di grado inferiore, sono polinomi di secondo grado (2)

La somma dei gradi dei due polinomi fattori (2+2=4) è uguale al grado (n=4) del polinomio iniziale (x⁴-1).

Verifica. Verifico se il prodotto dei due fattori restituisce il polinomio iniziale, svolgendo la moltiplicazione tra i due binomi. $$ (x^2-1) \cdot (x^2+1) = x^4 + x^2 - x^2 -1 $$ $$ (x^2-1) \cdot (x^2+1) = x^4 -1 $$ Il risultato finale è il polinomio iniziale (x⁴-1). Quindi, il polinomio è riducibile.

Il processo però non termina qui. Anche il binomio (x²-1) è riducibile nel prodotto (x-1)·(x+1)

Verifica. Faccio una rapida verifica $$ (x-1) \cdot (x+1) = x^2+x-x-1 = x^2-1 $$

Quindi posso ridurre ulteriormente il polinomio iniziale nel prodotto di tre fattori

$$ x^4-1 = (x^2-1) \cdot (x^2+1) = (x-1) \cdot (x+1) \cdot (x^2+1) $$

Il processo di scomposizione termina qui perché ora tutti i fattori sono polinomi irriducibili.

Ora il prodotto è composto da tre polinomi, due binomi di primo grado e un binomio di secondo grado.

$$ x^4-1 = (x-1) \cdot (x+1) \cdot (x^2+1) $$

La somma dei gradi è sempre uguale al grado del polinomio iniziale (1+1+2=4)

Perché scomporre il polinomio? Nella forma ridotta è molto più semplice capire quando si annulla il polinomio iniziale x⁴-1. $$ x^4-1 = (x^2-1) \cdot (x^2+1) = (x-1) \cdot (x+1) \cdot (x^2+1) $$ Mi basta applicare la legge di annullamento del prodotto per trovare la soluzione. In questo caso il primo binomio (x-1) si annulla quando x=1, il secondo binomio (x+1) si annulla quando x=-1, il terzo binomio (x²+1) si annulla quando x=1 o x=-1. Quindi, il polinomio iniziale si annulla quando x=1 oppure x=-1.

Esempio 2

Verifico se il polinomio x²+1 è riducibile

$$ x^2 + 1 $$

Questo polinomio è irriducibile perché non posso scomporlo nel prodotto di due o più fattori polinomi.

Verifica. Se moltiplico (x+1) per (x+1) ottengo un polinomio diverso $$ (x+1) \cdot (x+1) = x^2 + x +x +1 = x^2 +2x +1 \ne x^2+1 $$ Lo stesso accade se moltiplico (x+1) per (x-1) $$ (x+1) \cdot (x-1) = x^2 + x -x -1 = x^2 -1 \ne x^2+1 $$ Quindi, il polinomio è irriducibile.

E così via.