Le radici dei polinomi

Un polinomio è un'espressione matematica della forma:

$$p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0$$

Dove $a_n, a_{n-1}, \ldots, a_0$ sono costanti che possono appartenere agli interi $\mathbb{Z}$, ai razionali $\mathbb{Q}$, ai reali $\mathbb{R}$ o ai numeri complessi $\mathbb{C}$ e $n$ è un intero non negativo.

Un'equazione polinomiale è un'equazione che può essere espressa nella forma $p(x) = 0$

Ecco un esempio di equazione polinomiale:

$$3x^2 + 2x - 3 = 0$$

Una radice dell'equazione polinomiale $p(x) = 0$ è un numero $\alpha$ tale che $p(\alpha) = 0$.

Alcune equazioni polinomiali ammettono soluzioni nell'insieme dei numeri naturali $\mathbb{N}$, altri nell'insieme dei numeri interi $\mathbb{Z}$, razionali $\mathbb{Q}$ o reali $\mathbb{R}$.

Tutti però ammettono almeno una soluzione nell'insieme dei numeri complessi $\mathbb{C}$

Polinomi nei numeri naturali ($\mathbb{N}$)

I numeri naturali sono $\{1, 2, 3, \ldots\}$ e sono usati quotidianamente per contare.

Ad esempio, un'equazione con soluzioni nei numeri naturali è:

$$4 + x = 9$$

Questa equazione ha una soluzione in $\mathbb{N}$, che è $x = 5$.

Tuttavia, non tutte le equazioni ammettono soluzioni nei numeri naturali. Ad esempio, l'equazione $9 + x = 4$ non ha soluzioni in $\mathbb{N}$, poiché 9 è già maggiore di 4, e aggiungere un numero naturale a 9 lo renderà solo più grande.

Polinomi nei numeri razionali ($\mathbb{Z}$)

Per risolvere problemi come $9 + x = 4$, dobbiamo usare i numeri interi ($\mathbb{Z}$), che includono i numeri negativi: $\{\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots\}$.

L'equazione $9 + x = 4$ ha una soluzione in $\mathbb{Z}$, che è $x = -5$.

Gli interi non sono però sufficienti per risolvere tutte le equazioni polinomiali. Ad esempio, l'equazione $5x = 3$ non ha soluzioni intere perché non esiste un intero $n$ tale che $5n = 3$. È necessario usare un insieme più grande.

Polinomi nei numeri razionali ($\mathbb{Q}$)

Per risolvere molti polinomi dobbiamo usare i numeri razionali $\mathbb{Q}$ che includono anche le frazioni: $\left\{ \frac{m}{n} : m, n \in \mathbb{Z}, n \neq 0 \right\}$.

Ad esempio, l'equazione $5x = 3$ non ha una soluzione negli interi ma ha una soluzione in $\mathbb{Q}$, che è $x = \frac{3}{5}$.

Tuttavia, non tutti i polinomi quadratici hanno radici razionali. Ad esempio, $x^2 - 2 = 0$ non ha radici razionali perché $\sqrt{2}$ non è un numero razionale.

Polinomi nei numeri reali ($\mathbb{R}$)

Per risolvere equazioni come $x^2 - 2 = 0$ usiamo i numeri reali ($\mathbb{R}$), che includono tutte le espansioni decimali sia finite che infinite.

Ad esempio, l'equazione $x^2 - 2 = 0$ ha due soluzioni in $\mathbb{R}$, che sono $x = \sqrt{2}$ e $x = -\sqrt{2}$.

I numeri reali risolvono molti problemi ma non tutti. Alcune equazioni polinomiali non hanno soluzioni reali. Ad esempio, $x^2 + 1 = 0$ non ha soluzioni in $\mathbb{R}$ perché nessun numero reale al quadrato è uguale a -1.

Polinomi nei numeri complessi ($\mathbb{C}$)

Per risolvere le equazioni come $x^2 + 1 = 0$ usiamo i numeri complessi ($\mathbb{C}$), che includono $i$, l'unità immaginaria, dove $i^2 = -1$.

Ad esempio, l'equazione $x^2 + 1 = 0$ ha due soluzioni in $\mathbb{C}$, che sono $x = i$ e $x = -i$.

L'insieme dei numeri complessi include tutti gli altri insiemi numerici che abbiamo visto (reali, razionali, interi, naturali) ed è in grado di risolvere le radici di ogni tipo di polinomio.

Questo è alla base di uno dei teoremi più importanti dell'algebra detto "Teorema fondamentale dell'algebra" che afferma che ogni polinomio non costante con coefficienti complessi ha almeno una radice complessa.