Le radici dei polinomi
Un polinomio è un'espressione matematica della forma:
$$ p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0 $$
Dove $ a_n, a_{n-1}, \ldots, a_0 $ sono costanti che possono appartenere agli interi $ \mathbb{Z} $, ai razionali $ \mathbb{Q} $, ai reali $ \mathbb{R} $ o ai numeri complessi $ \mathbb{C} $ e \( n \) è un intero non negativo.
Un'equazione polinomiale è un'equazione che può essere espressa nella forma $ p(x) = 0 $
Ecco un esempio di equazione polinomiale:
$$ 3x^2 + 2x - 3 = 0 $$
Una radice dell'equazione polinomiale \( p(x) = 0 \) è un numero \( \alpha \) tale che \( p(\alpha) = 0 \).
Alcune equazioni polinomiali ammettono soluzioni nell'insieme dei numeri naturali $ \mathbb{N} $, altri nell'insieme dei numeri interi $ \mathbb{Z} $, razionali $ \mathbb{Q} $ o reali $ \mathbb{R} $.
Tutti però ammettono almeno una soluzione nell'insieme dei numeri complessi $ \mathbb{C} $
Polinomi nei numeri naturali (\(\mathbb{N}\))
I numeri naturali sono \( \{1, 2, 3, \ldots\} \) e sono usati quotidianamente per contare.
Ad esempio, un'equazione con soluzioni nei numeri naturali è:
$$ 4 + x = 9 $$
Questa equazione ha una soluzione in \( \mathbb{N} \), che è \( x = 5 \).
Tuttavia, non tutte le equazioni ammettono soluzioni nei numeri naturali. Ad esempio, l'equazione \( 9 + x = 4 \) non ha soluzioni in \( \mathbb{N} \), poiché 9 è già maggiore di 4, e aggiungere un numero naturale a 9 lo renderà solo più grande.
Polinomi nei numeri razionali (\(\mathbb{Z}\))
Per risolvere problemi come \( 9 + x = 4 \), dobbiamo usare i numeri interi (\(\mathbb{Z}\)), che includono i numeri negativi: \( \{\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots\} \).
L'equazione \( 9 + x = 4 \) ha una soluzione in \( \mathbb{Z} \), che è \( x = -5 \).
Gli interi non sono però sufficienti per risolvere tutte le equazioni polinomiali. Ad esempio, l'equazione \( 5x = 3 \) non ha soluzioni intere perché non esiste un intero \( n \) tale che \( 5n = 3 \). È necessario usare un insieme più grande.
Polinomi nei numeri razionali (\(\mathbb{Q}\))
Per risolvere molti polinomi dobbiamo usare i numeri razionali \( \mathbb{Q} \) che includono anche le frazioni: \( \left\{ \frac{m}{n} : m, n \in \mathbb{Z}, n \neq 0 \right\} \).
Ad esempio, l'equazione \( 5x = 3 \) non ha una soluzione negli interi ma ha una soluzione in \( \mathbb{Q} \), che è \( x = \frac{3}{5} \).
Tuttavia, non tutti i polinomi quadratici hanno radici razionali. Ad esempio, \( x^2 - 2 = 0 \) non ha radici razionali perché \( \sqrt{2} \) non è un numero razionale.
Polinomi nei numeri reali (\(\mathbb{R}\))
Per risolvere equazioni come \( x^2 - 2 = 0 \) usiamo i numeri reali (\(\mathbb{R}\)), che includono tutte le espansioni decimali sia finite che infinite.
Ad esempio, l'equazione \( x^2 - 2 = 0 \) ha due soluzioni in \( \mathbb{R} \), che sono \( x = \sqrt{2} \) e \( x = -\sqrt{2} \).
I numeri reali risolvono molti problemi ma non tutti. Alcune equazioni polinomiali non hanno soluzioni reali. Ad esempio, \( x^2 + 1 = 0 \) non ha soluzioni in \( \mathbb{R} \) perché nessun numero reale al quadrato è uguale a -1.
Polinomi nei numeri complessi (\(\mathbb{C}\))
Per risolvere le equazioni come \( x^2 + 1 = 0 \) usiamo i numeri complessi (\(\mathbb{C}\)), che includono \( i \), l'unità immaginaria, dove \( i^2 = -1 \).
Ad esempio, l'equazione \( x^2 + 1 = 0 \) ha due soluzioni in \( \mathbb{C} \), che sono \( x = i \) e \( x = -i \).
L'insieme dei numeri complessi include tutti gli altri insiemi numerici che abbiamo visto (reali, razionali, interi, naturali) ed è in grado di risolvere le radici di ogni tipo di polinomio.
Questo è alla base di uno dei teoremi più importanti dell'algebra detto "Teorema fondamentale dell'algebra" che afferma che ogni polinomio non costante con coefficienti complessi ha almeno una radice complessa.
