Il teorema di Ruffini
Un polinomio P(x) è divisibile per un binomio (x-k) se e solo se il polinomio è uguale a zero quando x=k. $$ P(k)=0 $$
Questo mi permette di capire se un polinomio è divisibile per un binomio del tipo (x-k) senza dover svolgere la divisione.
E' particolarmente utile quando devo fattorizzare un polinomio tramite il metodo di Ruffini.
Nota. Per fattorizzare un polinomio, ossia trasformarlo nel prodotto di due polinomi fattori di grado inferiore, devo essere sicuro che la divisione P(x):(x-k) abbia un resto nullo R=0. Solo in questo caso il polinomio è divisibile per (x-k) e può essere fattorizzato.
Un esempio pratico
Devo fattorizzare questo polinomio di 3° grado
$$ 2x^3-9x^2+11x-6 $$
Calcolo i valori del polinomio nell'intorno di x=0
$$ \begin{array}{c|cr} x & \text{P(x)} \\ \hline -3 & -174 \\ -2 & -80 \\ -1 & -28 \\ 0 & -6 \\ 1 & -2 \\ 2 & -4 \\ 3 & \color{red}0 \end{array} $$
Il polinomio P(x) si annulla quando x=3
In base al teorema di Ruffini il polinomio è divisibile per un binomio (x-k) dove k=3.
$$ P(x):(x-3)=Q(x) \ \ \ \text{con resto R=0} $$
Pertanto, il polinomio è fattorizzabile nel seguente modo
$$ P(x) = (x-3) \cdot Q(x) $$
Verifica. Applico il metodo di Ruffini per fattorizzare il polinomio. $$ \begin{array}{c|lcc|r} & 2 & -9 & 11 & -6 \\ 3 & & 6 & -9 & 6 \\ \hline & 2 & -3 & 2 & 0 \end{array} $$ Il polinomio è fattorizzabile in questo modo $$ P(x) = (x-3) \cdot ( 2x^2-3x+2 ) $$ Il risultato è corretto.
La spiegazione
Se un polinomio P(x) è divisibile per un polinomio (x-k), allora il resto della divisione è uguale a zero.
$$ R=0 $$
In base al teorema del resto se divido un polinomio P(x) per un binomio (x-k), il polinomio è uguale al resto P(x)=R quando x=k
$$ P(k)=R $$
In questo caso R=0 per l'ipotesi iniziale
$$ P(k)=0 $$
Quindi, se il polinomio P(x) è divisibile per il binomio (x-k) allora il polinomio si annulla P(k)=0 quando x=k.
Vale anche il ragionamento inverso.
Se un polinomio P(x)=0 si annulla in un punto x=k, allora in quel punto il resto della divisione P(x):(x-k) è zero (R=0)
Se il resto della divisione P(x):(x-k) è uguale a zero, allora il polinomio P(x) è divisibile per (x-k)
Pertanto, se il polinomio P(k)=0 si annulla quando x=k, allora il polinomio è divisibile per il binomio (x-k).
E così via.
