Il massimo comune divisore tra polinomi
Il massimo comune divisore (MCD) tra due o più polinomi è un polinomio di grado massimo che divide tutti i polinomi.
Come si calcola il MCD tra polinomi
Per calcolare il massimo comune divisore tra polinomi
- Scompongo tutti i polinomi in forma fattorizzata irriducibile.
- Moltiplico i polinomi fattori comuni tra loro, presi una sola volta nel grado inferiore.
Nota. C'è una chiara somiglianza tra il MCD tra due o più numeri e quello tra due o più polinomi. In entrambi i casi devo prima scomporre in fattori irriducibili, poi prendere i fattori comuni al grado minimo e moltiplicarli tra loro.
Un esempio pratico
Considero i polinomi
$$ A(x): 6x^3 $$
$$ B(x): 3x^4-27x^2 $$
$$ C(x): 2x^3+6x^2 $$
Li riduco in forma fattorizzata
$$ A(x): 2 \cdot 3 \cdot x^3 $$
$$ B(x): 3 \cdot x^2 \cdot (x-3) \cdot (x+3) $$
$$ C(x): 2 \cdot x^2 \cdot (x+3) $$
Spiegazione. Il polinomio A(x) è banale. $$ A(x): 6x^3 $$ Ho semplicemente scomposto il coefficiente 6 in fattori primi. $$ A(x): 2 \cdot 3 \cdot x^3 $$ Nel polinomio B(x) $$ B(x): 3x^4-27x^2 $$ tutti i monomi sono divisibili per 3. Quindi metto in evidenza il 3. $$ B(x): 3 \cdot (x^4-9x^2) $$ Poi raccolgo e metto in evidenza x2 $$ B(x): 3 \cdot x^2 \cdot (x^2-3^2) $$ L'ultimo termine è la differenza di due quadrati $$ B(x): 3 \cdot x^2 \cdot (x-3) \cdot (x+3) $$ Nel polinomio C(x) $$ C(x): 2x^3+6x^2 $$ tutti i termini sono divisibili per 2. Quindi, raccolgo e metto in evidenza il numero 2 $$ C(x): 2 \cdot (x^3+3x^2) $$ Poi raccolgo e metto in evidenza x2 $$ C(x): 2 \cdot x^2 \cdot (x+3) $$
$$ \begin{vmatrix} A(x) & 2 & 3 & x^3 \\ B(x) & & 3 & x^2 & x-3 & x+3 \\ C(x) & 2 & & x^2 & & x+3 \end{vmatrix} $$
Considero solo i fattori in comune, quelli che compaiono in tutti e tre i polinomi.
In questo caso è la terza colonna (x)
$$ \begin{vmatrix} A(x) & 2 & 3 & \color{red}{x^3} \\ B(x) & & 3 & \color{red}{x^2} & x-3 & x+3 \\ C(x) & 2 & & \color{red}{x^2} & & x+3 \end{vmatrix} $$
Di questi prendo una sola volta il fattore di grado minimo (x2)
Non essendoci altri fattori (1 è implicito) il massimo comune divisore dei tre polinomi è x2
$$ MCD[ \ A(x), B(x), C(x) \ ] = x^2 $$
Il polinomo x2 è il polinomio divisore che divide tutti i polinomi A(x), B(x) e C(x).
Esempio 2
Considero i polinomi
$$ A(x): 3x^2y + 3xy^2 $$
$$ B(x): 6x^3+6x^2y $$
$$ C(x): 2x^2y^2 +2xy^3 $$
Li riduco in forma fattorizzata
$$ A(x): 3 \cdot x \cdot y \cdot (x + y ) $$
$$ B(x): 2 \cdot 3 \cdot x^2 \cdot (x+y) $$
$$ C(x): 2 \cdot x \cdot y^2 \cdot (x +y) $$
Spiegazione. Scompongo in fattori polinomio A(x) $$ A(x): 3x^2y + 3xy^2 $$ $$ A(x): 3 \cdot (x^2y + xy^2 ) $$ $$ A(x): 3 \cdot x \cdot (xy + y^2 ) $$ $$ A(x): 3 \cdot x \cdot y \cdot (x + y ) $$ Scompongo in fattori polinomio B(x) $$ B(x): 6x^3+6x^2y $$ $$ B(x): 6 \cdot (x^3+x^2y) $$ $$ B(x): 2 \cdot 3 \cdot x^2 \cdot (x+y) $$ Scompongo in fattori polinomio C(x)
$$ C(x): 2x^2y^2 +2xy^3 $$ $$ C(x): 2 \cdot (x^2y^2 +xy^3) $$ $$ C(x): 2 \cdot x \cdot (xy^2 +y^3) $$ $$ C(x): 2 \cdot x \cdot y^2 \cdot (x +y) $$
$$ \begin{vmatrix} A(x) & & 3 & x & y & x+y \\ B(x) & 2 & 3 & x^2 & & x+y \\ C(x) & 2 & & x & y^2 & x+y \end{vmatrix} $$
In questo caso ci sono due fattori in comune.
Nella tabella i fattori della quarta colonna (x) e della sesta colonna (x+y) sono presenti in tutti i polinomi
$$ \begin{vmatrix} A(x) & & 3 & \color{red}{x} & y & \color{red}{x+y} \\ B(x) & 2 & 3 & \color{red}{x^2} & & \color{red}{x+y} \\ C(x) & 2 & & \color{red}{x} & y^2 & \color{red}{x+y} \end{vmatrix} $$
Di questi prendo una sola volta il fattore di grado minimo (x) e (x+y) e li moltiplico tra loro
Pertanto, il massimo comune divisore dei tre polinomi è x(x+y)
$$ MCD[ \ A(x), B(x), C(x) \ ] = x \cdot (x+y) $$
Il polinomo x(x+y) è il polinomio divisore che divide tutti i polinomi A(x), B(x) e C(x).
E così via.
