La scomposizione di un polinomio con il metodo di Ruffini
Il metodo di Ruffini consente di scomporre un polinomio trovando una radice e dividendo per il relativo fattore $(x-r)$.
Se un polinomio $P(x)$ si annulla in $x=r$, allora $(x-r)$ è un fattore di $P(x)$ ossia divide $ P(x) $
$$ \frac{P(x)}{(x-r)} = Q(x) $$
In questo modo è sufficiente calcolare il quoziente per ottenere la scomposizione del polinomio come prodotto di due polinomi di grado inferiore.
$$ P(x) = Q(x) (x-r) $$
Nota. Questa proprietà deriva direttamente dal teorema del resto $$ P(x) = (x-r)\,Q(x) + P(r) $$ Se $P(r)=0$, il resto è nullo e quindi $$ P(x) = (x-r)\,Q(x) $$ Il problema si riduce quindi a trovare almeno una radice $r$.
Come si trovano le radici del polinomio?
Quando i coefficienti del polinomio $ a_n x^n + .... + a_1 x + a_0 $ sono interi, il teorema delle radici razionali restringe la ricerca:
Considero una frazione $ \frac{p}{q} $
- il numeratore $p$ è un divisore del termine noto $a_0$
- il denominatore $q$ è un divisore del coefficiente del termine di grado superiore $a_n$.
In questo modo, ottengo una lista finita di possibili candidati $ \frac{p}{q} $ da verificare.
Per ogni candidato calcolo il valore di $P(\frac{p}{q})$, se risulta nullo $ P(\frac{p}{q})=0$ ho trovato la radice $ r = \frac{p}{q} $.
$$ P(x=\frac{p}{q}) = 0 \Rightarrow r = \frac{p}{q} $$
Una volta nota una radice $r$, divido $P(x)$ per $(x-r)$ tramite la regola di Ruffini e ottengo il quoziente $ Q(x) $ che mi permette di scrivere il polinomio scomposto nella forma seguente:
$$ P(x) = Q(x) (x-r) $$
Nota. Non è detto che un polinomio ammetta sempre delle radici razionali o intere. In tal caso non significa che il polinomio sia irriducibile: la scomposizione può comunque essere eseguita con altre tecniche, ad esempio mediante la formula risolutiva di secondo grado, il raccoglimento o l’uso di identità algebriche.
Un esempio pratico
Considero un polinomio di terzo grado
$$ P(x)=2x^3+5x^2-x-6 $$
In questo caso i divisori del termine noto $-6$ sono:
$$ p = \{ \pm1, \pm2, \pm3, \pm6 \} $$
I divisori del coefficiente direttivo $2$ sono:
$$ q = \{ \pm1, \pm2 \} $$
Quindi, i cadidati per trovare le radici razionali sono le varie combinazioni possibili $ \frac{p}{q} $
$$ \frac{p}{q} = \frac{\{ \pm1, \pm2, \pm3, \pm6 \}}{\{ \pm1, \pm2 \}} = \{ \pm 1, \pm2, \pm3, \pm6, pm \frac{1}{2}, \pm \frac{2}{3}, \pm \frac{3}{2} \} $$
A questo punto sostituisco i valori per calcolare il valore del polinomio $ P(x) $
$$ P(-1) = 2 (-1)^3+ 5 (-1)^2 -(-1) - 6 = -2+5+1-6 = -2 $$
$$ P(1) = 2 (1)^3+ 5 (1)^2 -(1) - 6 = 2+5-1-6 = 0 $$
Ho trovato una radice del polinomio con $ r=1 $.
Questo vuole dire che il polinomio è divisibile per $ (x-r) $ ossia per $ (x-1) $
$$ \frac{ 2x^3+5x^2-x-6 }{x-1} = Q(x) $$
Calcolo la divisione del polinomio tramite il metodo di Ruffini.
$$ \begin{array}{c|lcc|r} & 2 & 5 & -1 & -6 \\ r=1 & & 2 & 7 & 6 \\ \hline & 2 & 7 & 6 & 0 \end{array} $$
Il quoziente $ Q(x) $ è $ 2x^2+7x+6$.
$$ \frac{ 2x^3+5x^2-x-6 }{x-1} = 2x^2+7x+6 $$
A questo punto, mi basta moltiplicare entrambi i membri per $ (x-1) $ e ottengo il polinomio scomposto.
$$ 2x^3+5x^2-x-6 = (2x^2+7x+6) \cdot (x-1) $$
Ho così ottenuto la scomposizione del polinomio in un prodotto di due polinomi di grado inferiore.
$$ (2x^2+7x+6) \cdot (x-1) $$
Se necessario, la procedura può essere reiterata sul polinomio quoziente, applicando nuovamente Ruffini per abbassarne ulteriormente il grado e continuare la scomposizione.
Nota. Il polinomio che ho ottenuto è ulteriormente riducibile. In questo caso, $ 2x^2+7x+6 $ è un trinomio di secondo grado. Posso trovare due termini $ p $ e $ q $ il cui prodotto sia uguale a $ pq=ac = 2 \cdot 6 = 12 $ e la cui somma sia $ p+q = b = 7 $. In questo caso posso usare $ p=4 $ e $ q=3 $. Riscrivo il polinomio nella forma equivalente $$ 2x^2+4x + 3x+6 $$ Poi raggruppo $$ 2x (x+2) + 3 (x+2) $$ e semplifico $$ (x+2) (2x+3) $$ Quindi, il polinomio $ (2x^2+7x+6) \cdot (x-1) $ posso riscriverlo in forma irriducibile in questo modo: $$ (x+2) (2x+3) (x-1) $$
E così via.
