Polinomi simmetrici
Un polinomio simmetrico \( P(x, y, z, \ldots) \) è un polinomio ridotto ossia privo di termini simili da sommare che resta invariato per effetto dello scambio di due qualsiasi variabili \( x \) e \( y \) .
In altre parole, un polinomio simmetrico è un’espressione algebrica in due o più variabili che rimane identica anche se scambio tra loro una coppia di variabili presenti.
Ad esempio, se nel polinomio $ 2a+2b + c $ scambio le variabili $ a $ con $ b $ tra loro ottengo sempre lo stesso polinomio $ 2b + 2a +c $. E' un esempio banale di polinomio simmetrico.
Nei polinomi simmetrici l'ordine delle variabili non conta.
Come riconoscere un polinomio simmetrico? Per capire se un polinomio è simmetrico, basta scegliere due variabili qualsiasi e scambiarle, riscrivere il nuovo polinomio e confrontare il risultato con l’originale. Se i due polinomi coincidono, è simmetrico. Altrimenti, no. I polinomi simmetrici sono centrali nello studio delle funzioni simmetriche.
Esempio pratico
Considero il polinomio
\[ 2x^2 - 3xy + 2y^2 \]
Per la definizione, un polinomio è simmetrico se per ogni coppia di variabili \( x \) e \( y \), scambiando \( x \) con \( y \), il polinomio non cambia.
Scambio \( x \) e \( y \) e ottengo:
\[ 2y^2 - 3yx + 2x^2 \]
Riscrivo in ordine canonico con le lettere ordinate alfabeticamente nei monomi:
\[ 2x^2 - 3xy + 2y^2 \]
Il polinomio è identico a quello di partenza. Pertanto, è un polinomio è simmetrico.
Esempio 2
Considero quest'altro polinomio
\[ 3xy - 2xz + 3yz \]
Scambio \( x \) e \( y \):
\[ 3yx - 2yz + 3xz \]
Cambio l'ordine delle variabili nei termini e ottengo:
\[ 3xy - 2yz + 3xz \]
Questo polinomio non è uguale al polinomio originale, che aveva un termine \(-2xz\), ora diventato \(-2yz\).
Quindi, il polinomio non è simmetrico.
Note
Alcune note a margine e osservazioni aggiuntive sui polinomi simmetrici.
- Un polinomio composto da termini puri è simmetrico, perché ogni variabile compare allo stesso modo. \[ x^2 + y^2 + z^2 \]
- Un polinomio composto da prodotti incrociati completi è sempre simmetrico \[ xy + yz + zx \]
E così via.
