Polinomi simmetrici
Un polinomio simmetrico P(x,y,z,…) è un polinomio ridotto ossia privo di termini simili da sommare che resta invariato per effetto dello scambio di due qualsiasi variabili x e y .
In altre parole, un polinomio simmetrico è un’espressione algebrica in due o più variabili che rimane identica anche se scambio tra loro una coppia di variabili presenti.
Ad esempio, se nel polinomio 2a+2b+c scambio le variabili a con b tra loro ottengo sempre lo stesso polinomio 2b+2a+c. E' un esempio banale di polinomio simmetrico.
Nei polinomi simmetrici l'ordine delle variabili non conta.
Come riconoscere un polinomio simmetrico? Per capire se un polinomio è simmetrico, basta scegliere due variabili qualsiasi e scambiarle, riscrivere il nuovo polinomio e confrontare il risultato con l’originale. Se i due polinomi coincidono, è simmetrico. Altrimenti, no. I polinomi simmetrici sono centrali nello studio delle funzioni simmetriche.
Esempio pratico
Considero il polinomio
2x2−3xy+2y2
Per la definizione, un polinomio è simmetrico se per ogni coppia di variabili x e y, scambiando x con y, il polinomio non cambia.
Scambio x e y e ottengo:
2y2−3yx+2x2
Riscrivo in ordine canonico con le lettere ordinate alfabeticamente nei monomi:
2x2−3xy+2y2
Il polinomio è identico a quello di partenza. Pertanto, è un polinomio è simmetrico.
Esempio 2
Considero quest'altro polinomio
3xy−2xz+3yz
Scambio x e y:
3yx−2yz+3xz
Cambio l'ordine delle variabili nei termini e ottengo:
3xy−2yz+3xz
Questo polinomio non è uguale al polinomio originale, che aveva un termine −2xz, ora diventato −2yz.
Quindi, il polinomio non è simmetrico.
Note
Alcune note a margine e osservazioni aggiuntive sui polinomi simmetrici.
- Un polinomio composto da termini puri è simmetrico, perché ogni variabile compare allo stesso modo. x2+y2+z2
- Un polinomio composto da prodotti incrociati completi è sempre simmetrico xy+yz+zx
E così via.
