I prodotti notevoli della moltiplicazione tra polinomi
I prodotti notevoli tra polinomi sono casi particolari che mi permettono di giungere al risultato finale senza svolgere i passaggi intermedi della moltiplicazione tra polinomi.
La somma di due monomi per la loro differenza
$$ (a+b) \cdot (a-b) = a^2 - b^2 $$
Il quadrato di un binomio
$$ (a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab $$ $$ (a-b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab $$
Il cubo di un binomio
$$ (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 $$ $$ (a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 $$
La differenza di due quadrati
$$ a^2 - b^2 = (a+b) \cdot (a-b) $$
La somma e la differenza di due cubi
$$ x^3-a^3 = (x-a) \cdot (x^2+ax+a^2) $$ $$ x^3+a^3 = (x+a) \cdot (x^2-ax+a^2) $$
Il quadrato di un trinomio
$$ (a+b+c)^2 = a^2 + b^2 +c^2 + 2ab +2ac + 2bc $$
il trinomio di 2° grado (caso particolare)
$$ x^2+(a+b) \cdot x+ ab = (x+a) \cdot (x+b) $$
Il prodotto della somma di due monomi per la loro differenza
Il prodotto della somma di due monomi per la loro differenza è uguale alla differenza tra il quadrato del primo monomio e il quadrato del secondo monomio.
$$ (a+b) \cdot (a-b) = a^2 - b^2 $$
Esempio. Considero due polinomi composti dalla somma e dalla differenza degli stessi due monomi. $$ P(x): \ 4a + 2b $$ $$ Q(x): \ 4a - 2b $$ Calcolo il prodotto tra i due polinomi usando il prodotto notevole $$ P(x) \cdot Q(x) = (4a+2b) \cdot (4a-2b) $$ $$ P(x) \cdot Q(x) = (4a)^2-(2b)^2 $$ Quindi, il prodotto notevole tra i due polinomi è $$ P(x) \cdot Q(x) = 16a^2 - 4b^2 $$
Verifica. Verifico se il risultato è corretto svolgendo tutti i passaggi della moltiplicazione. $$ P(x) \cdot Q(x) = (4a+2b) \cdot (4a-2b) $$ $$ P(x) \cdot Q(x) = 4a \cdot (4a-2b) +2b \cdot (4a-2b) $$ $$ P(x) \cdot Q(x) = 16a^2-8ab + 8ab-4b^2 $$ $$ P(x) \cdot Q(x) = 16a^2-4b^2 $$ Il risultato è lo stesso.
Il quadrato del binomio
Il quadrato di un binomio (a+b)2 è uguale alla somma dei quadrati di due termini e del loro doppio prodotto
$$ (a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab $$
Esempio. Considero il quadrato di un binomio $$ (2a+3b)^2 $$ Espando il quadrato del binomio calcolando la somma dei quadrati dei due termini e del loro doppio prodotto $$ (2a+3b)^2 = (2a)^2 + (3b)^2 + 2 \cdot (2a \cdot 3b) $$ $$ (2a+3b)^2 = 4a^2 + 9b^2 + 12ab $$
Il cubo del binomio
Il cubo del binomio (a+b)3 è uguale alla somma dei cubi dei due termini, del triplo prodotto del quadrato del primo termine per il secondo e del triplo prodotto del quadrato del secondo termine per il primo, $$ (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 $$
Esempio. Considero il cubo di un binomio $$ (2a-3b)^3 $$ Espando il cubo del binomio usando la formula precedente $$ (2a-3b)^3 = (2a)^3 + (3b)^3 + 3 \cdot [(2a)^2 \cdot (-3b)] + 3 \cdot [ 2a \cdot (-3b)^2] $$ $$ (2a-3b)^3 = 8a^3 + 27b^3 + 3 \cdot (- 12a^2b) + 3 \cdot ( 18ab^2) $$ $$ (2a-3b)^3 = 8a^3 + 27b^3 - 36a^2b + 54ab^2 $$
La somma e la differenza di due cubi
Il binomio composto dalla differenza o dalla somma di due cubi posso fattorizzarlo come il prodotto di un binomio per un trinomio. $$ x^3-a^3 = (x-a) \cdot (x^2+ax+a^2) $$ $$ x^3+a^3 = (x+a) \cdot (x^2-ax+a^2) $$
Esempio. Considero questo binomio $$ (x^3-27) $$ Si tratta una differenza di due cubi $$ (x^3-3^3) $$ Espando il binomio usando la formula precedente $$ (x-3) \cdot (x^2 +3x + 3^2) $$ $$ (x-3) \cdot (x^2 +3x + 9) $$
Il trinomio di 2° grado nella forma x2+sx+p
Il trinomio di 2° grado ridotto in forma normale x2+sx+p
$$ x^2 + s \cdot x + p $$
in cui il primo termine ha coefficiente unitario, il secondo termine ha un coefficiente uguale alla somma di due numeri s=a+b e il terzo termine ha un coefficiente uguale al prodotto degli stessi numeri p=a·b
$$ x^2 + (a+b) \cdot x + ab $$
posso fattorizzarlo in questo modo equivalente (x+a)·(x+b)
$$ x^2 + (a+b) \cdot x + ab = (x+a) \cdot (x+b) $$
Esempio. Considero questo polinomio di 2° grado. $$ x^2 + 5x + 6 $$ Il polinomio ha il primo coefficiente uguale a uno (x2), il secondo coefficiente è la somma 2+3=5 e il terzo coefficiente è il prodotto 2·3=6. $$ x^2 + (2+3) \cdot x + 2 \cdot 3 $$ Il polinomio soddisfa tutte le condizioni per essere fattorizzato nella forma (x+a)·(x+b) con a=2 e b=3 $$ x^2 + 5x + 6 = (x+2) \cdot (x+3) $$
Verifica. Svolgo la moltiplicazione per verificare se la fattorizzazione è corretta. $$ (x+2) \cdot (x+3) = x^2 +3x+2x+6 = x^2+5x+6 $$ Il risultato finale è il polinomio di 2° grado iniziale. Quindi, la fattorizzazione è equivalente.
E così via.
