Il minimo comune multiplo tra polinomi

Il minimo comune multiplo (mcm) tra due o più polinomi è un polinomio di grado minimo che può essere diviso da tutti i polinomi.

Come calcolare il mcm tra polinomi

Per ottenere il minimo comune multiplo tra i polinomi

1. Riscrivo i polinomi nella loro forma fattorizzata irriducibile.
2. Moltiplico i polinomi fattori comuni e non comuni tra loro, presi una sola volta nel grado massimo.

Nota. Anche in questo caso c'è una chiara analogia con il calcolo del minimo comune multiplo tra due o più numeri. In entrambi i casi devo fare la scomposizione in fattori irriducibili e calcolare il prodotto dei fattori comuni e non comuni presi una solo volta nel loro grado superiore.

Un esempio pratico

Considero i polinomi

$$ A(x): 6x^3 $$

$$ B(x): 3x^4-27x^2 $$

$$ C(x): 2x^3+6x^2 $$

Lo scompongo in una forma fattorizzata irriducibile.

$$ A(x): 2 \cdot 3 \cdot x^3 $$

$$ B(x): 3 \cdot x^2 \cdot (x-3) \cdot (x+3) $$

$$ C(x): 2 \cdot x^2 \cdot (x+3) $$

Spiegazione. Il polinomio A(x) è molto semplice. $$ A(x): 6x^3 $$ Basta scomporre il coefficiente 6 in fattori primi. $$ A(x): 2 \cdot 3 \cdot x^3 $$ Il polinomio B(x) $$ B(x): 3x^4-27x^2 $$ hai i monomi divisibili per 3. Quindi, raccolgo e metto in evidenza il numero 3. $$ B(x): 3 \cdot (x^4-9x^2) $$ Poi raccolgo e metto in evidenza x² $$ B(x): 3 \cdot x^2 \cdot (x^2-3^2) $$ L'ultimo termine del polinomio è una differenza tra due quadrati che posso scomporre applicando i prodotti notevoli. $$ B(x): 3 \cdot x^2 \cdot (x-3) \cdot (x+3) $$ Il polinomio C(x) $$ C(x): 2x^3+6x^2 $$ ha i termini divisibili per 2. Quindi, raccolgo e metto in evidenza il numero 2 $$ C(x): 2 \cdot (x^3+3x^2) $$ Poi raccolgo e metto in evidenza x² $$ C(x): 2 \cdot x^2 \cdot (x+3) $$

$$ \begin{vmatrix} A(x) & 2 & 3 & x^3 \\ B(x) & & 3 & x^2 & x-3 & x+3 \\ C(x) & 2 & & x^2 & & x+3 \end{vmatrix} $$

Considero i fattori comuni e non comuni dei tre i polinomi.

Di questi prendo una sola volta il fattore di grado massimo

$$ \begin{vmatrix} A(x) & \color{red}2 & \color{red}3 & \color{red}{x^3} \\ B(x) & & 3 & x^2 & \color{red}{x-3} & \color{red}{x+3} \\ C(x) & 2 & & x^2 & & x+3 \end{vmatrix} $$

Poi li moltiplico tra loro e ottengo il minimo comune multiplo dei polinomi

$$ mcm[ \ A(x), B(x), C(x) \ ] = 2 \cdot 3 \cdot x^3 \cdot (x-3) \cdot (x+3) $$

Il polinomio del minimo comune multiplo che ho appena ottenuto è divisibile per i polinomi A(x), B(x) e C(x).

Esempio 2

Considero tre polinomi

$$ A(x): 3x^2y + 3xy^2 $$

$$ B(x): 6x^3+6x^2y $$

$$ C(x): 2x^2y^2 +2xy^3 $$

Li scompongo nella loro forma fattorizzata irriducibile

$$ A(x): 3 \cdot x \cdot y \cdot (x + y ) $$

$$ B(x): 2 \cdot 3 \cdot x^2 \cdot (x+y) $$

$$ C(x): 2 \cdot x \cdot y^2 \cdot (x +y) $$

Spiegazione. Scompongo in fattori polinomio A(x) $$ A(x): 3x^2y + 3xy^2 $$ $$ A(x): 3 \cdot (x^2y + xy^2 ) $$ $$ A(x): 3 \cdot x \cdot (xy + y^2 ) $$ $$ A(x): 3 \cdot x \cdot y \cdot (x + y ) $$ Scompongo in fattori polinomio B(x) $$ B(x): 6x^3+6x^2y $$ $$ B(x): 6 \cdot (x^3+x^2y) $$ $$ B(x): 2 \cdot 3 \cdot x^2 \cdot (x+y) $$ Scompongo in fattori polinomio C(x)
$$ C(x): 2x^2y^2 +2xy^3 $$ $$ C(x): 2 \cdot (x^2y^2 +xy^3) $$ $$ C(x): 2 \cdot x \cdot (xy^2 +y^3) $$ $$ C(x): 2 \cdot x \cdot y^2 \cdot (x +y) $$

$$ \begin{vmatrix} A(x) & & 3 & x & y & x+y \\ B(x) & 2 & 3 & x^2 & x+y \\ C(x) & 2 & & x & y^2 & x+y \end{vmatrix} $$

Prendo i fattori in comune e non in comune.

$$ \begin{vmatrix} A(x) & & \color{red}3 & x & y & \color{red}{x+y} \\ B(x) & \color{red}2 & 3 & \color{red}{x^2} & & x+y \\ C(x) & 2 & & x & \color{red}{y^2} & x+y \end{vmatrix} $$

Di questi prendo una sola volta il fattore di grado massimo e li moltiplico tra loro

Pertanto, il minimo comune multiplo (mcm) tra i polinomi è

$$ mcm[ \ A(x), B(x), C(x) \ ] = 2 \cdot 3 \cdot x^2 \cdot y^2 \cdot (x+y) $$

Il minimo comune multiplo appena ottenuto è divisibile per i polinomio A(x), B(x) e C(x).

E così via.