Il grado di un polinomio
Il grado di un polinomio in forma normale è il grado maggiore dei termini che lo compongono.
In altre parole, il grado di un polinomio (in forma normale) è il valore massimo ottenuto sommando gli esponenti delle variabili in ciascun termine.
Ad esempio, questo polinomio ha grado 3
$$ a^2 + ab^2 + ab $$
Questo perché:
- il primo termine \( a^2 \) ha grado 2
- il secondo termine \( ab^2 = a^1b^2 \) ha grado 1+2=3
- il terzo termine \( ab = a^1b^1 \) ha grado 1+1=2
Quindi, il grado maggiore dei termini del polinomio è 3.
Attenzione alle costanti. È molto importante ricordare che solo gli esponenti delle lettere che rappresentano le variabili contribuiscono al grado di un polinomio. Le lettere associate a costanti, ovvero a valori che non variano, non vanno considerate nel calcolo del grado. I numeri, i coefficienti, le lettere che rappresentano delle costanti (ad esempio π, e, ecc. ) e il termine noto non vanno considerati. Nella maggior parte dei casi, lettere come a, b, c, d ecc. indicano variabili. Tuttavia, possono presentarsi situazioni in cui una lettera viene utilizzata per rappresentare una costante: in questi casi è fondamentale prestare attenzione.
Un esempio pratico
Questo polinomio è composto da tre termini. Il primo termine (ab3) è di grado 4, il secondo (a2b) è di grado 3 e il terzo (ab) è di grado 2.
$$ ab^3 + a^2b + ab $$
Quindi, il polinomio è di grado 4.
Nota. il grado di un polinomio si calcola solo quando è espresso in forma normale (cioè ridotta). Se il polinomio è riducibile, è necessario prima ridurlo in forma normale. Ad esempio, questo polinomio non è di grado 3 perché non è in forma normale $$ ab^2 + 2ab - ab^2 + c $$ Lo riduco in forma normale e ottengo $$ (ab^2- ab^2) + 2ab + c $$ $$ 2ab + c $$ In questo caso il polinomio è di grado 2
Esempio 2
Considero questo polinomio
$$ 4 \pi ab^3 + 5a^2b + 9ab + 64 $$
in cui ci sono varie potenze numeriche e una lettera che rappresenta una costante \( \pi \).
$$ 2^2 \pi ab^3 + 5a^2b + 3^2ab + 2^6 $$
Il grado del polinomio è sempre 4 perché nel termine \( 2^2 \pi ab^3 \) gli esponenti della costante \( \pi \) e della potenza numerica \( 2^2 \) non vanno considerati.
Quindi, il monomio \( 2^2 \pi ab^3 \) ha grado 4 ed è il termine con il grado più alto del polinomio.
Il grado di un polinomio rispetto a una variabile
Il grado di un polinomio rispetto a una variabile è il grado maggiore della lettera nei termini del polinomio ridotto in forma normale.
Esempio
Considero questo polinomio.
$$ ab^3 + a^2bc + ab + 5 $$
Poi calcolo i gradi del polinomio rispetto a ciascuna delle lettere che lo compongono.
- Il grado del polinomio rispetto alla lettera "a" è 2 perché è l'esponente maggiore della lettera "a".
- Il grado del polinomio rispetto alla lettera "b" è 3 perché è l'esponente maggiore della lettera "b".
- Il grado del polinomio precedente rispetto alla lettera "c" è 1, perché è l'esponente maggiore della lettera c.
Nota. Il numero (termine noto) del polinomio ha grado zero perché un numero qualsiasi (es. 5) equivale al prodotto del numero per una lettera elevata a zero, ad esempio: $$ 5 = 5 \cdot a^0 $$
E così via.
Domande/Risposte
- Il grado di un polinomio può essere negativo?
No. Il grado di un polinomio è sempre un numero naturale (≥ 0) oppure, in casi speciali come il polinomio nullo, viene considerato non definito. - Un polinomio può avere grado zero? E cosa significa?
Sì. Ha grado zero quando è costituito solo da un numero (una costante), come \(5\) o \(-3\). In questi casi non ci sono lettere con esponenti diversi da zero. Un numero qualsiasi può sempre essere visto come il prodotto del numero stesso per una variabile con esponente 0. Ad esempio $ 5 = 5 \cdot a^0 $ dove $ a $ è una variabile e $ a^0 =1 $. - Come faccio a capire se una lettera rappresenta una costante o una variabile?
Dipende dal contesto. Se nel testo del problema viene specificato che una lettera rappresenta un numero fisso (ad esempio \( k = 2 \)), allora si tratta di una costante. Se invece la lettera indica una quantità che può variare, allora è una variabile Pertanto, una stessa lettera può rappresentare una costante in un contesto e una variabile in un altro: per questo motivo è fondamentale leggere con attenzione e comprendere bene l’enunciato. Va anche ricordato che, per convenzione, alcune lettere come \( \pi \approx 3{,}14\ldots \) sono considerate costanti anche quando ciò non è esplicitamente indicato nel problema. - Cosa significa esattamente "forma normale" di un polinomio?
Significa che tutti i termini simili sono stati sommati (cioè ridotti), e il polinomio non può essere ulteriormente semplificato. Se ci si dimentica di semplificare un polinomio prima di calcolarne il grado, si rischia di commettere errori. Questo perché alcuni termini possono annullarsi tra loro, alcuni prodotti possono aumentare il grado di alcune variabili, si potrebbe confondere il grado apparente con quello reale, ecc. Per questo motivo, è sempre necessario ridurre un polinomio in forma normale prima di calcolarne il grado.
