La somma e la differenza di due cubi
Il binomio composto dalla differenza o dalla somma di due cubi posso fattorizzarlo come il prodotto di un binomio per un trinomio. $$ x^3-a^3 = (x-a) \cdot (x^2+ax+a^2) $$ $$ x^3+a^3 = (x+a) \cdot (x^2-ax+a^2) $$
La fattorizzazione mi permette di studiare il polinomio tramite la legge di annullamento del prodotto
E' uno dei prodotti notevoli che è utile ricordare.
Nota. Il secondo termine $$ x^2 \pm ax+ a^2 $$ è detto falso quadrato perché è simile, ma non uguale, al quadrato di un binomio. $$ x^2 \pm 2ax+ a^2 $$ Nel quadrato di un binomio c'è un doppio prodotto.
Un esempio pratico
Devo studiare questa equazione
$$ x^3-8=0 $$
Si tratta della differenza di due cubi perché 8=2^3
$$ x^3-2^3=0 $$
Trasformo la differenza dei cubi nel prodotto di due polinomi
$$ (x-2) \cdot (x^2+2x+2^2) = 0 $$
$$ (x-2) \cdot (x^2+2x+3) = 0 $$
Per trovare la soluzione dell'equazione applico la legge di annullamento del prodotto.
Il primo termine (x-2) si annulla quando x=2
Il secondo termine x^2+2x+3 è un'equazione di 2° grado che risolvo usando la classica formula
$$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
$$ x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2-4(1)(3)}}{2(1)}$$
$$ x = \frac{-2 \pm \sqrt{4-12}}{2}$$
$$ x = \frac{-2 \pm \sqrt{-8}}{2}$$
Il radicando è negativo, quindi il secondo termine non ha soluzioni nei numeri reali.
Quindi, l'unica soluzione possibile dell'equazione iniziale è x=2
Esempio 2
Considero il binomio
$$ x^3 - 8bx^3 $$
Si tratta di una differenza tra due cubi
$$ x^3 - (2b)^3 $$
Posso fattorizzare il binomio in questo modo
$$ x^3 - (2b)^3 = (x-2b) \cdot (x^2 + 2bx + (2b)^2) $$
$$ x^3 - (2b)^3 = (x-2b) \cdot (x^2 + 2bx + 4b^2) $$
Verifica. Per verificare il risultato svolgo il prodotto tra i due polinomi $$ x^3 - (2b)^3 = (x-2b) \cdot (x^2 + 2bx + 4b^2) $$ $$ x^3 - (2b)^3 = x^3 +2b^2x + 4b^2x - 2bx^2 - 4b^2x - (2b)^3 $$ $$ x^3 - (2b)^3 = x^3 - (2b)^3 $$ L'identità è vera. Quindi, il risultato è corretto.
La dimostrazione
La differenza di due (x3-a3)
Considero l'equazione
$$ x^3-a^3 = 0 $$
Questa equazione si annulla quando x=a
Applico la regola di Ruffini per fattorizzare il binomio
$$ \begin{array}{c|lcc|r} & 1 & 0 & 0 & -a^3 \\ a & & a & a^2 & a^3 \\ \hline & 1 & a & a^2 & 0 \end{array} $$
Il risultato è il prodotto
$$ (x-a) \cdot (x^2 + ax +a^2) $$
La somma di due cubi (x3+a3)
Considero l'equazione
$$ x^3+a^3 = 0 $$
L'equazione si annulla quando x=-a
Applico la regola di Ruffini per fattorizzare il binomio
$$ \begin{array}{c|lcc|r} & 1 & 0 & 0 & a^2 \\ -a & & -a & a^2 & -a^3 \\ \hline & 1 & -a & a^2 & 0 \end{array} $$
Il risultato è il prodotto
$$ (x-(-a)) \cdot (x^2 - ax +a^2) $$
$$ (x+a) \cdot (x^2 - ax +a^2) $$
E così via.
