L'insieme vuoto è un sottoinsieme proprio o improprio?
La classificazione dell'insieme vuoto (\(\emptyset\)) come sottoinsieme proprio o improprio di un altro insieme può variare a seconda della definizione adottata di "sottoinsieme proprio".
Esistono due interpretazioni a riguardo:
- Insieme vuoto come sottoinsieme proprio
Un sottoinsieme \(B\) di \(A\) è proprio se contiene alcuni, ma non tutti, gli elementi di \(A\). In questo caso l'insieme vuoto è considerato un sottoinsieme proprio di qualsiasi insieme non vuoto, dato che contiene "alcuni" elementi (zero, in questo caso), ma non tutti dato che l'altro insieme non è vuoto. L'insieme vuoto non è un sottoinsieme proprio di sé stesso, perché se contiene zero elementi, nell'insieme di riferimento non ci sono altri elementi da considerare, poiché non ne ha affatto. - Insieme vuoto come sottoinsieme improprio
In alcuni testi si afferma che l'insieme vuoto è un sottoinsieme improprio di ogni insieme, incluso sé stesso, poiché l'interpretazione si basa sull'idea che "sottoinsieme proprio" debba includere almeno un elemento dell'insieme di riferimento, cosa che l'insieme vuoto non fa mai perché non ha elementi.
In generale, la maggior parte dei matematici considera l'insieme vuoto un sottoinsieme proprio di qualsiasi altro insieme non vuoto e un sottoinsieme improprio di sé stesso.
La confusione nei testi deriva dalla scelta di definizione di sottoinsieme proprio adottata.
E così via.
