Esercizio calcolo integrale 25

Devo risolvere l'integrale

$$ \int \frac{1}{x \sqrt{1-\log^2 x}} \ dx $$

Uso il metodo del differenziale rispetto a log x

$$ d( \log x ) = \frac{1}{x} \ dx $$

Per la proprietà invariantiva moltiplico entrambi i membri per x.

$$ d( \log x ) \cdot x = \frac{1}{x} \ dx \cdot x $$

In questo modo ricavo dx

$$ d( \log x ) \cdot x = dx $$

Sostituisco dx=d(log x)*x nell'integrale

$$ \int \frac{1}{x \sqrt{1-\log^2 x}} \cdot [ d( \log x ) \cdot x ] $$

Semplifico la x al numeratore e al denominatore

$$ \int \frac{1}{\sqrt{1-\log^2 x}} \cdot d( \log x ) $$

Introduco una variabile ausiliaria t=log x

$$ \int \frac{1}{\sqrt{1-t^2}} \ dt $$

Ora l'integrale è immediato ∫1/sqrt(1-t2) dt = arcsin(t)+c.

$$ \int \frac{1}{\sqrt{1-t^2}} \ dt = \arcsin(t) + c $$

Sapendo che t=log x

$$ \int \frac{1}{\sqrt{1-t^2}} \ dt = \arcsin( \log x ) $$

In conclusione, la soluzione dell'integrale è

$$ \int \frac{1}{x \sqrt{1-\log^2 x}} \ dx = \arcsin( \log(x) ) $$

E così via.

 


 

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