Esercizio calcolo integrale 25
Devo risolvere l'integrale
$$ \int \frac{1}{x \sqrt{1-\log^2 x}} \ dx $$
Uso il metodo del differenziale rispetto a log x
$$ d( \log x ) = \frac{1}{x} \ dx $$
Per la proprietà invariantiva moltiplico entrambi i membri per x.
$$ d( \log x ) \cdot x = \frac{1}{x} \ dx \cdot x $$
In questo modo ricavo dx
$$ d( \log x ) \cdot x = dx $$
Sostituisco dx=d(log x)*x nell'integrale
$$ \int \frac{1}{x \sqrt{1-\log^2 x}} \cdot [ d( \log x ) \cdot x ] $$
Semplifico la x al numeratore e al denominatore
$$ \int \frac{1}{\sqrt{1-\log^2 x}} \cdot d( \log x ) $$
Introduco una variabile ausiliaria t=log x
$$ \int \frac{1}{\sqrt{1-t^2}} \ dt $$
Ora l'integrale è immediato ∫1/sqrt(1-t2) dt = arcsin(t)+c.
$$ \int \frac{1}{\sqrt{1-t^2}} \ dt = \arcsin(t) + c $$
Sapendo che t=log x
$$ \int \frac{1}{\sqrt{1-t^2}} \ dt = \arcsin( \log x ) $$
In conclusione, la soluzione dell'integrale è
$$ \int \frac{1}{x \sqrt{1-\log^2 x}} \ dx = \arcsin( \log(x) ) $$
E così via.
