Esercizio calcolo integrale 23
Devo risolvere l'integrale
$$ \int \frac{1-x^2}{x^2+1} \ dx $$
Ci sono vari modi per risolvere questo integrale
Soluzione 1
Riscrivo l'integrale in questa forma equivalente
$$ \int \frac{(-1)\cdot(-1+x^2)}{x^2+1} \ dx $$
$$ -1\cdot \int \frac{x^2-1}{x^2+1} \ dx $$
$$ - \int \frac{x^2-1}{x^2+1} \ dx $$
Ora aggiungo +1 e sottraggo -1 al numeratore
$$ - \int \frac{x^2-1+1-1}{x^2+1} \ dx $$
$$ - \int \frac{x^2+1-2}{x^2+1} \ dx $$
$$ - \int \frac{x^2+1}{x^2+1} - \frac{2}{x^2+1} \ dx $$
$$ - [ \int \frac{x^2+1}{x^2+1} \ dx - \int \frac{2}{x^2+1} \ dx ]$$
$$ - [ \int 1 \ dx - 2 \cdot \int \frac{1}{x^2+1} \ dx ]$$
$$ - \int 1 \ dx + 2 \cdot \int \frac{1}{x^2+1} \ dx $$
I due integrali sono immediati
Il primo integrale è ∫1dx=x+c mentre il secondo integrale ∫1/(x2+1)dx=arctg(x)+c
$$ - x + 2 \cdot \arctan(x) + c $$
Quindi la soluzione dell'integrale è
$$ \int \frac{1-x^2}{x^2+1} = - x + 2 \cdot \arctan(x) + c $$
Soluzione 2
Riscrivo l'integrale in questa forma equivalente
$$ \int \frac{1-x^2}{x^2+1} \ dx $$
$$ \int \frac{1}{x^2+1} - \frac{x^2}{x^2+1} \ dx $$
Sapendo che l'integrale è un operatore lineare
$$ \int \frac{1}{x^2+1} \ dx - \int \frac{x^2}{x^2+1} \ dx $$
Il primo integrale è elementare ∫1/(x^2+1)=arctan(x)+c
$$ \arctan(x) + C - \int \frac{x^2}{x^2+1} \ dx $$
Per risolvere il secondo integrale, aggiungo +1-1 al numeratore della funzione integranda.
$$ \arctan(x) + C - \int \frac{x^2+1-1}{x^2+1} \ dx $$
$$ \arctan(x) + C - \int \frac{x^2+1}{x^2+1} - \frac{1}{x^2+1} \ dx $$
$$ \arctan(x) + C - \int 1 - \frac{1}{x^2+1} \ dx $$
$$ \arctan(x) + C - [ \int 1 \ dx - \frac{1}{x^2+1} \ dx ] $$
L'integrale ∫1 dx=x+c
$$ \arctan(x) + C - [ x - \frac{1}{x^2+1} \ dx ] $$
So già che l'integrale ∫1/(x^2+1)=arctan(x)+c
$$ \arctan(x) + C - [ x - \arctan(x) ] $$
$$ \arctan(x) + C - x + \arctan(x) $$
$$ 2 \cdot \arctan(x) -x + C $$
La soluzione dell'integrale è la stessa.
E così via.
