Esercizio calcolo integrale 23
Devo risolvere l'integrale
$$ \int \frac{1-x^2}{x^2+1} $$
Riscrivo l'integrale in questa forma equivalente
$$ \int \frac{(-1)\cdot(-1+x^2)}{x^2+1} \ dx $$
$$ -1\cdot \int \frac{x^2-1)}{x^2+1} \ dx $$
$$ - \int \frac{x^2-1)}{x^2+1} \ dx $$
Ora aggiungo +1 e sottraggo -1 al numeratore
$$ - \int \frac{x^2-1+1-1)}{x^2+1} \ dx $$
$$ - \int \frac{x^2+1-2)}{x^2+1} \ dx $$
$$ - \int \frac{x^2+1)}{x^2+1} - \frac{2}{x^2+1} \ dx $$
$$ - [ \int \frac{x^2+1)}{x^2+1} \ dx - \int \frac{2}{x^2+1} \ dx ]$$
$$ - [ \int 1 \ dx - 2 \cdot \int \frac{1}{x^2+1} \ dx ]$$
$$ - \int 1 \ dx + 2 \cdot \int \frac{1}{x^2+1} \ dx $$
I due integrali sono immediati
Il primo integrale è ∫1dx=x+c mentre il secondo integrale ∫1/(x2+1)dx=arctg(x)+c
$$ - x + 2 \cdot \arctan(x) + c $$
Quindi la soluzione dell'integrale è
$$ \int \frac{1-x^2}{x^2+1} = - x + 2 \cdot \arctan(x) + c $$
E così via.
