Esercizio calcolo integrale 23

Devo risolvere l'integrale

$$ \int \frac{1-x^2}{x^2+1} $$

Riscrivo l'integrale in questa forma equivalente

$$ \int \frac{(-1)\cdot(-1+x^2)}{x^2+1} \ dx $$

$$ -1\cdot \int \frac{x^2-1)}{x^2+1} \ dx $$

$$ - \int \frac{x^2-1)}{x^2+1} \ dx $$

Ora aggiungo +1 e sottraggo -1 al numeratore

$$ - \int \frac{x^2-1+1-1)}{x^2+1} \ dx $$

$$ - \int \frac{x^2+1-2)}{x^2+1} \ dx $$

$$ - \int \frac{x^2+1)}{x^2+1} - \frac{2}{x^2+1} \ dx $$

$$ - [ \int \frac{x^2+1)}{x^2+1} \ dx - \int \frac{2}{x^2+1} \ dx ]$$

$$ - [ \int 1 \ dx - 2 \cdot \int \frac{1}{x^2+1} \ dx ]$$

$$ - \int 1 \ dx + 2 \cdot \int \frac{1}{x^2+1} \ dx $$

I due integrali sono immediati

Il primo integrale è ∫1dx=x+c mentre il secondo integrale ∫1/(x2+1)dx=arctg(x)+c

$$ - x + 2 \cdot \arctan(x) + c $$

Quindi la soluzione dell'integrale è

$$ \int \frac{1-x^2}{x^2+1} = - x + 2 \cdot \arctan(x) + c $$

E così via.

 


 

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Il calcolo integrale