Esercizio calcolo integrale 22

Devo risolvere l'integrale

$$ \int \frac{\cos x}{2- \cos^2 x} \ dx $$

Utilizzo il metodo della sostituzione

Calcolo il differenziale di sin(x)

$$ d( \sin x) = \cos x \ dx $$

Ricavo dx

$$ dx = \frac{d( \sin x)}{ \cos x} $$

Sostituisco dx nell'integrale

$$ \int \frac{\cos x}{2- \cos^2 x} \ dx $$

$$ \int \frac{\cos x}{2- \cos^2 x} \ \frac{d( \sin x)}{ \cos x} $$

Poi semplifico

$$ \int \frac{1}{2- \cos^2 x} \ d( \sin x) $$

Sapendo per il primo principio della trigonometria sin2(x)+cos2(x)=1

Quindi cos2(x)=1-sin2(x)

$$ \int \frac{1}{2- (1-\sin^2 x)} \ d( \sin x) $$

$$ \int \frac{1}{2-1+ \sin^2 x)} \ d( \sin x) $$

$$ \int \frac{1}{1+\sin^2 x} \ d( \sin x) $$

Introduco la variabile ausiliaria t=sin(x)

$$ \int \frac{1}{1-t^2} \ dt $$

Ora l'integrale è immediato.

Sapendo che ∫1/1-t2=arctg(t)+c

$$ \int \frac{1}{1-t^2} \ dt = \arctg(t) + c $$

Sostituisco t=sin(x)

$$ \arctg(t) + c = \arctg( \sin x ) + c $$

Pertanto, la soluzione dell'integrale è

$$ \int \frac{\cos x}{2- \cos^2 x} \ dx = \arctg( \sin x ) + c $$

E così via.

 


 

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Il calcolo integrale