Esercizio calcolo integrale 22
Devo risolvere l'integrale
$$ \int \frac{\cos x}{2- \cos^2 x} \ dx $$
Utilizzo il metodo della sostituzione
Calcolo il differenziale di sin(x)
$$ d( \sin x) = \cos x \ dx $$
Ricavo dx
$$ dx = \frac{d( \sin x)}{ \cos x} $$
Sostituisco dx nell'integrale
$$ \int \frac{\cos x}{2- \cos^2 x} \ dx $$
$$ \int \frac{\cos x}{2- \cos^2 x} \ \frac{d( \sin x)}{ \cos x} $$
Poi semplifico
$$ \int \frac{1}{2- \cos^2 x} \ d( \sin x) $$
Sapendo per il primo principio della trigonometria sin2(x)+cos2(x)=1
Quindi cos2(x)=1-sin2(x)
$$ \int \frac{1}{2- (1-\sin^2 x)} \ d( \sin x) $$
$$ \int \frac{1}{2-1+ \sin^2 x)} \ d( \sin x) $$
$$ \int \frac{1}{1+\sin^2 x} \ d( \sin x) $$
Introduco la variabile ausiliaria t=sin(x)
$$ \int \frac{1}{1+t^2} \ dt $$
Ora l'integrale è immediato.
Sapendo che ∫1/(1+t2)=arctg(t)+c
$$ \int \frac{1}{1+t^2} \ dt = \text{arctg}(t) + c $$
Sostituisco t=sin(x)
$$ \text{arctg}(t) + c = \text{arctg}( \sin x ) + c $$
Pertanto, la soluzione dell'integrale è
$$ \int \frac{\cos x}{2- \cos^2 x} \ dx = \text{arctg}( \sin x ) + c $$
E così via.
