Esercizio calcolo integrale 22
Devo risolvere l'integrale
∫cosx2−cos2x dx
Utilizzo il metodo della sostituzione
Calcolo il differenziale di sin(x)
d(sinx)=cosx dx
Ricavo dx
dx=d(sinx)cosx
Sostituisco dx nell'integrale
∫cosx2−cos2x dx
∫cosx2−cos2x d(sinx)cosx
Poi semplifico
∫12−cos2x d(sinx)
Sapendo per il primo principio della trigonometria sin2(x)+cos2(x)=1
Quindi cos2(x)=1-sin2(x)
∫12−(1−sin2x) d(sinx)
∫12−1+sin2x) d(sinx)
∫11+sin2x d(sinx)
Introduco la variabile ausiliaria t=sin(x)
∫11+t2 dt
Ora l'integrale è immediato.
Sapendo che ∫1/(1+t2)=arctg(t)+c
∫11+t2 dt=arctg(t)+c
Sostituisco t=sin(x)
arctg(t)+c=arctg(sinx)+c
Pertanto, la soluzione dell'integrale è
∫cosx2−cos2x dx=arctg(sinx)+c
E così via.