Esercizio calcolo integrale 20
Devo risolvere l'integrale indefinito
$$ \int \frac{\sin x + \cos x}{\sin x - \cos x} \ dx $$
Uso il metodo del differenziale rispetto al termine sin x- cos x
$$ d( \sin x - \cos x ) = ( \cos x + \sin x ) \ dx$$
Ricavo dx dividendo entrambi i membri dell'equazione per cos(x)+sin(x)
$$ \frac{ d( \sin x - \cos x ) }{ \cos x + \sin x } = \frac{ ( \cos x + \sin x ) \ dx }{ \cos x + \sin x } $$
$$ \frac{ d( \sin x - \cos x ) }{ \cos x + \sin x } = dx $$
Ora sostituisco dx nell'integrale con l'espressione appena ottenuta
$$ \int \frac{\sin x + \cos x}{\sin x - \cos x} \ [ \frac{ d( \sin x - \cos x ) }{ \cos x + \sin x } ] $$
Questo mi permette di semplificare numeratore e denominatore
$$ \int \frac{1}{\sin x - \cos x} \cdot d( \sin x - \cos x ) $$
A questo punto utilizzo una variabile ausiliaria t=sin(x)-cos(x)
$$ \int \frac{1}{t} \ dt $$
Ora l'integrale è immediato.
L'integrale ∫ 1/t dt = log |t| + c
$$ \int \frac{1}{t} \cdot dt = \log |t| + c $$
Infine sostituisco t=sin(x)-cos(x) nel risultato
$$ \int \frac{1}{t} \cdot dt = \log |t| + c = \log | \sin x - \cos x | + c $$
Quindi, la soluzione dell'integrale è
$$ \int \frac{\sin x + \cos x}{\sin x - \cos x} \ dx = \log | \sin x - \cos x | + c $$
E così via.