Esercizio calcolo integrale 20

Devo risolvere l'integrale indefinito

$$ \int \frac{\sin x + \cos x}{\sin x - \cos x} \ dx $$

Uso il metodo del differenziale rispetto al termine sin x- cos x

$$ d( \sin x - \cos x ) = ( \cos x + \sin x ) \ dx$$

Ricavo dx dividendo entrambi i membri dell'equazione per cos(x)+sin(x)

$$ \frac{ d( \sin x - \cos x ) }{ \cos x + \sin x } = \frac{ ( \cos x + \sin x ) \ dx }{ \cos x + \sin x } $$

$$ \frac{ d( \sin x - \cos x ) }{ \cos x + \sin x } = dx $$

Ora sostituisco dx nell'integrale con l'espressione appena ottenuta

$$ \int \frac{\sin x + \cos x}{\sin x - \cos x} \ [ \frac{ d( \sin x - \cos x ) }{ \cos x + \sin x } ] $$

Questo mi permette di semplificare numeratore e denominatore

$$ \int \frac{1}{\sin x - \cos x} \cdot d( \sin x - \cos x ) $$

A questo punto utilizzo una variabile ausiliaria t=sin(x)-cos(x)

$$ \int \frac{1}{t} \ dt $$

Ora l'integrale è immediato.

L'integrale ∫ 1/t dt = log |t| + c

$$ \int \frac{1}{t} \cdot dt = \log |t| + c $$

Infine sostituisco t=sin(x)-cos(x) nel risultato

$$ \int \frac{1}{t} \cdot dt = \log |t| + c = \log | \sin x - \cos x | + c $$

Quindi, la soluzione dell'integrale è

$$ \int \frac{\sin x + \cos x}{\sin x - \cos x} \ dx = \log | \sin x - \cos x | + c $$

E così via.

 


 

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