Esercizio calcolo integrale 20

Devo risolvere l'integrale indefinito

$$ \int \frac{\sin x + \cos x}{\sin x - \cos x} \ dx $$

Uso il metodo del differenziale rispetto al termine sin x- cos x

$$ d( \sin x - \cos x ) = ( \cos x + \sin x ) \ dx$$

Ricavo dx dividendo entrambi i membri dell'equazione per cos(x)+sin(x)

$$ \frac{ d( \sin x - \cos x ) }{ \cos x + \sin x } = \frac{ ( \cos x + \sin x ) \ dx }{ \cos x + \sin x } $$

$$ \frac{ d( \sin x - \cos x ) }{ \cos x + \sin x } = dx $$

Ora sostituisco dx nell'integrale con l'espressione appena ottenuta

$$ \int \frac{\sin x + \cos x}{\sin x - \cos x} \ [ \frac{ d( \sin x - \cos x ) }{ \cos x + \sin x } ] $$

Questo mi permette di semplificare numeratore e denominatore

$$ \int \frac{1}{\sin x - \cos x} \cdot d( \sin x - \cos x ) $$

A questo punto utilizzo una variabile ausiliaria t=sin(x)-cos(x)

$$ \int \frac{1}{t} \ dt $$

Ora l'integrale è immediato.

L'integrale ∫ 1/t dt = log |t| + c

$$ \int \frac{1}{t} \cdot dt = \log |t| + c $$

Infine sostituisco t=sin(x)-cos(x) nel risultato

$$ \int \frac{1}{t} \cdot dt = \log |t| + c = \log | \sin x - \cos x | + c $$

Quindi, la soluzione dell'integrale è

$$ \int \frac{\sin x + \cos x}{\sin x - \cos x} \ dx = \log | \sin x - \cos x | + c $$

Una soluzione alternativa, molto più rapida, suggerita da un utente.

$$ \int \frac{\sin x + \cos x}{\sin x - \cos x} \ dx $$

E' sufficiente osservare che il numeratore sin(x)+cos(x) del rapporto è la derivata del denominatore sin(x)-cos(x).

Pertanto, per risolvere l'integrale basta applicare una delle regole di integrazione elementari.

$$ \int \frac{f'(x)}{f(x)} \ dx = \log |f(x)| + c $$

Dove per log intendo il logaritmo naturale (ln).

Quindi, la funzione integranda è la derivata della funzione composta log[ sin(x) - cos(x) ]

$$ \frac{ d \ \log[\sin(x) - \cos (x) ] }{dt} = $$

$$ = \frac{1}{\sin(x) - \cos (x)} \cdot \frac{ d \ [ \sin(x) - \cos (x) ] }{dt} $$

$$ = \frac{1}{\sin(x) - \cos (x)} \cdot \frac{ d \ [ \sin(x) ] - d \ [ \cos (x) ] }{dt} $$

$$ = \frac{ \sin(x) + \cos(x) }{ \sin(x) - \cos (x) } $$

In conclusione, la soluzione dell'integrale è

$$ \int \frac{\sin x + \cos x}{\sin x - \cos x} \ dx = \log | \sin x - \cos x | + c $$

E così via.