Esercizio calcolo integrale 17
In questo esercizio devo trovare la soluzione dell'integrale
$$ \int \frac{1}{x^2+x^4} \ dx $$
Prima di iniziare fattorizzo il denominatore della funzione integranda
$$ \int \frac{1}{x^2 \cdot (1+x^2)} \ dx $$
Ora il denominatore è decomposto in fattori irriducibili.
Per risolvere l'integrale utilizzo la tecnica della scomposizione in fratti semplici.
$$ \int \frac{1}{x^2 \cdot (1+x^2)} \ dx = \int \frac{A}{x} + \frac{B}{x^2} + \frac{Cx+D}{1+x^2} \ dx $$
$$ = \int \frac{A}{x} + \frac{B}{x^2} + \frac{Cx+D}{1+x^2} \ dx $$
$$ = \int \frac{A \cdot (x) \cdot (1+x^2) +B \cdot (1+x^2) +(Cx+D) \cdot x^2}{x^2 \cdot (1+x^2)} \ dx $$
$$ = \int \frac{Ax+Ax^3 +B + Bx^2+Cx^3+Dx^2}{x^2 \cdot (1+x^2)} \ dx $$
Metto in evidenza x3, x2, x e i termini noti ossia x0
$$ = \int \frac{x^3 \cdot (A+C) + x^2 \cdot (B+D) + x \cdot (A)+B }{x^2 \cdot (1+x^2)} \ dx $$
Quindi, posso scrivere l'integrale iniziale anche in questa forma equivalente
$$ \int \frac{1}{x^2 \cdot (1+x^2)} \ dx = \int \frac{x^3 \cdot (A+C) + x^2 \cdot (B+D) + x \cdot (A)+B }{x^2 \cdot (1+x^2)} \ dx $$
A questo punto confronto i numeratori dei due integrali equivalenti e deduco che:
- A+C=0
perché x3 ha coefficiente nullo al numeratore dell'integrale nel membro di sinistra. - B+D=0
perché x2 ha coefficiente nullo al numeratore dell'integrale nel membro di sinistra. - A=0
perché x ha coefficiente nullo al numeratore dell'integrale nel membro di sinistra. - B=1
perché al numeratore dell'integrale di sinistra il termine noto è uguale a 1
Dispongo queste equazioni in un sistema
$$ \begin{cases} A+C=0 \\ B+D=0 \\ A=0 \\ B=1 \end{cases} $$
Poi cerco di risolvere il sistema usando la tecnica per sostituzione.
Sapendo che A=0
$$ \begin{cases} 0+C=0 \\ B+D=0 \\ A=0 \\ B=1 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} C=0 \\ B+D=0 \\ A=0 \\ B=1 \end{cases} $$
Sapendo che B=1
$$ \begin{cases} C=0 \\ 1+D=0 \\ A=0 \\ B=1 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} C=0 \\ D=-1 \\ A=0 \\ B=1 \end{cases} $$
Pertanto, le soluzioni del sistema sono A=0, B=1, C=0, D=-1
Sostituisco questi valori nell'integrale con i fratti semplici.
$$ \int \frac{1}{x^2 \cdot (1+x^2)} \ dx = \int \frac{A}{x} + \frac{B}{x^2} + \frac{Cx+D}{1+x^2} \ dx $$
$$ \int \frac{1}{x^2 \cdot (1+x^2)} \ dx = \int \frac{0}{x} + \frac{1}{x^2} + \frac{0 \cdot x+(-1)}{1+x^2} \ dx $$
$$ \int \frac{1}{x^2 \cdot (1+x^2)} \ dx = \int \frac{1}{x^2} - \frac{1)}{1+x^2} \ dx $$
Per la proprietà lineare degli integrali, l'integrale di una somma è uguale alla somma degli integrali
$$ \int \frac{1}{x^2 \cdot (1+x^2)} \ dx = \int \frac{1}{x^2} \ dx - \int \frac{1)}{1+x^2} \ dx $$
A questo punto i due integrali al secondo membro sono elementari e, quindi, facilmente risolvibili.
L'integrale ∫x-2 dx= -x-1+c ossia -1/x+c
$$ \int \frac{1}{x^2 \cdot (1+x^2)} \ dx = - \frac{1}{x} +c - \int \frac{1)}{1+x^2} \ dx $$
L'integrale ∫1/(1+x2) dx= arctan(x)
$$ \int \frac{1}{x^2 \cdot (1+x^2)} \ dx = - \frac{1}{x} +c - \arctan(x) $$
Pertanto, la soluzione dell'integrale è la seguente
$$ \int \frac{1}{x^2 \cdot (1+x^2)} \ dx = - \frac{1}{x} - \arctan(x) +c $$
E così via
