Esempio calcolo integrale 31

Devo risolvere l'integrale

$$ \int \frac{1}{(1+x^2) \cdot \arctan x} \ dx $$

Calcolo il differenziale dell'arcotangente arctan(x)

$$ d ( \arctan x ) = \frac{1}{1+x^2} \ dx $$

$$ dx = (1+x^2) \ d ( \arctan x ) $$

Sostituisco dx nell'integrale

$$ \int \frac{1}{(1+x^2) \arctan x} \ dx $$

$$ \int \frac{1}{(1+x^2) \arctan x} \cdot (1+x^2) \ d ( \arctan x ) $$

Poi semplifico

$$ \int \frac{1}{ \arctan x} \ d ( \arctan x ) $$

Introduco una variabile ausiliaria t=arctan(x)

$$ \int \frac{1}{t} \ dt $$

Ora l'integrale è immediato.

L'integrale ∫1/t dt=log|t|+c

$$ \int \frac{1}{t} \ dt = \log|t|+c $$

Sapendo che t=arctan(x)

$$ \int \frac{1}{t} \ dt = \log|t|+c = \log | \arctan x | + c $$

Quindi, la soluzione dell'integrale è

$$ \int \frac{1}{(1+x^2) \arctan x} \ dx = \log | \arctan x | + c $$

E così via.