Dominio della funzione

Il dominio della funzione y=f(x) è l'insieme dei valori che si possono assegnare alla variabile indipendente x per ottenere un'immagine y. E' anche detto campo di esistenza o dominio naturale.

Per capire il dominio della funzione bisogna studiare l'espressione della funzione.

In generale, se la funzione è una funzione reale il dominio è l'insieme dei numeri reali oppure un sottoinsieme dei numeri reali.

Nota. Quando si parla di dominio ristretto si intende un sottoinsieme del dominio naturale della funzione. Ad esempio, potrei studiare il comportamento della funzione soltanto per alcuni valori x del dominio.

Un esempio pratico

Considero la funzione reale

$$ y = \sqrt{x+1} $$

La radice quadrata è definita per i numeri non negativi.

Quindi il radicando x+1 deve essere maggiore o uguale a zero.

$$ x + 1 \ge 0 $$

Ricavando la variabile x dalla disequazione si capisce subito che la variabile indipendente x può assumere solo valori reali uguali o superiori a -1.

$$ x \ge -1 $$

Pertanto, il dominio della funzione è l'intervallo reale [-1,+∞)

$$ D: x \ge 1 $$

Nota. Un esempio di dominio ristretto potrebbe essere l'intervallo (5,+∞) ossia un sottoinsieme del dominio naturale della funzione [-1,+∞)

Esempio 2

Considero la funzione reale

$$ y = \frac{1}{x} $$

La funzione non è definita per x=0 perché si verificherebbe una divisione per zero. E' invece definita per ogni altro valore reale.

Quindi, il dominio naturale della funzione è l'insieme dei numeri reali (R) meno il valore 0.

$$ D: (-\infty, 0) \cup (0, + \infty) $$

Posso scrivere il dominio anche usando la notazione insiemistica

$$ D: R - \{ 0 \} $$

E così via.