Il prodotto tra la somma e la differenza di due monomi
Il prodotto tra la somma e la differenza di due monomi è uguale alla differenza tra il quadrato del primo monomio e il quadrato del secondo monomio. $$ (a+b) \cdot (a-b) = a^2 - b^2 $$
Un esempio pratico
Considero due polinomi P(x) e Q(x) composti dalla somma e dalla differenza dei monomi 4a e 2b
$$ P(x): \ 4a + 2b $$
$$ Q(x): \ 4a - 2b $$
Devo calcolare il prodotto tra i due polinomi
$$ P(x) \cdot Q(x) = (4a+2b) \cdot (4a-2b) $$
Per farlo applico la regola del prodotto notevole
$$ P(x) \cdot Q(x) = (4a)^2-(2b)^2 $$
Quindi, il prodotto notevole tra i due polinomi è
$$ P(x) \cdot Q(x) = 16a^2 - 4b^2 $$
La dimostrazione
Per dimostrare questo prodotto notevole utilizzo la geometria.
Considero due segmenti a e b
Disegno un rettangolo in cui la base è la somma dei segmenti (a+b) e l'altezza è la differenza dei due segmenti (a-b)
L'area di questo rettangolo è
$$ Area = (a+b) \cdot (a-b) $$
Ora divido il rettangolo in due rettangoli di pari altezza (a-b).
Il primo rettangolo ha base a mentre il secondo rettangolo ha base b.
La somma delle aree A1 e A1 dei due rettangoli è uguale all'area A del rettangolo iniziale.
$$ A = A_1 + A_2 $$
Calcolo separatamente le aree dei due rettangoli
$$ A_1 = a \cdot (a-b) = a^2 -ab $$
$$ A_2 = b \cdot (a-b) = ab-b^2 $$
Quindi, la somma delle due aree è
$$ A = A_1 + A_2 $$
$$ A = (a^2 -ab) + (ab-b^2) $$
$$ A = a^2 -ab + ab-b^2 $$
Pertanto, l'area A del rettangolo iniziale è uguale alla differenza dei quadrati dei segmenti a e b
$$ A = a^2 -b^2 $$
Ho dimostrato geometricamente la regola del prodotto notevole.
E così via.
