Distanza di un punto da un piano
La distanza tra un punto P e un piano è data dalla lunghezza del segmento perpendicolare che congiunge P al piano.
In altre parole, la distanza tra un punto P e un piano è uguale alla lunghezza del segmento perpendicolare al piano che ha per estremi il punto P e un punto qualsiasi del piano.
La distanza è sempre un valore non negativo. Se il punto appartiene al piano la distanza è nulla.
Come calcolare la distanza tra un punto e il piano
La distanza minima tra un punto P e un piano α nello spazio è data dalla lunghezza del segmento perpendicolare al piano α che ha origine in P.
$$ d(P, \alpha ) = \frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} $$
Esempio
Considero il punto P alle coordinate (x;y;z)=(1;3;2) nello spazio a tre dimensioni
$$ P = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} $$
L'equazione cartesiana del piano è la seguente:
$$ 4x-2y+z-5 = 0 $$
La distanza tra il punto e il piano si calcola usando la formula precedente.
$$ d(P,a) = \frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} $$
Indico i parametri dell'equazione del piano a=4, b=-2, c=1 e d=-5
$$ d(P,a) = \frac{|4 \cdot x_0-2 \cdot y_0+1 \cdot z_0-5|}{\sqrt{4^2+(-2)^2+1^2}} $$
$$ d(P,a) = \frac{|4 \cdot x_0-2 \cdot y_0+1 \cdot z_0-5|}{\sqrt{16+4+1}} $$
$$ d(P,a) = \frac{|4 \cdot x_0-2 \cdot y_0+1 \cdot z_0-5|}{\sqrt{21}} $$
Inserisco le coordinate del punto x0=1, y0=3, z0=2
$$ d(P,a) = \frac{|4 \cdot 1-2 \cdot 3+1 \cdot 2-5|}{\sqrt{21}} $$
$$ d(P,a) = \frac{|-5|}{\sqrt{21}} $$
$$ d(P,a) = \frac{5}{\sqrt{21}} = 1,09 $$
Pertanto la distanza tra il punto P e il piano è 1,09.
Nella rappresentazione grafica seguente è la linea rossa tra il punto P e il piano.
E' la lunghezza del segmento perpendicolare al piano che ha origine nel punto P.
E così via.
