Distanza di una retta parallela al piano
La distanza d di una retta r parallela a un piano π si calcola trovando un punto P sulla retta e proiettando perpendicolarmente questo punto sul piano.
La formula per calcolare la distanza d tra il punto P(x0,y0,z0) e il piano dato dall'equazione ax+by+cz+d=0 è:
d=|ax0+by0+cz0+d|√a2+b2+c2
Questa mi formula fornisce la lunghezza del segmento perpendicolare che congiunge P al piano π, ed è la stessa distanza per ogni punto sulla retta r dato che la retta è parallela al piano.
Esempio
Considero il piano π definito dall'equazione:
2x−3y+6z+9=0
Supponiamo che la retta r sia definita dalle equazioni parametriche:
x=13+3t
y=2t
z=0
Devo prima verificare che la retta r sia effettivamente parallela al piano π, calcolando il prodotto scalare tra il vettore normale del piano (2,−3,6) e la direzione della retta (3,2,0):
2⋅3+(−3)⋅2+6⋅0=6−6+0=0
Il prodotto scalare è zero, quindi la retta è parallela al piano.
Scelgo un punto sulla retta r, ad esempio, quando t=0, il punto è (13,0,0). Applichiamo la formula per la distanza:
d=|2(13)−3(0)+6(0)+9|√22+(−3)2+62
d=|26+9|√4+9+36
d=|35|√49
d=357=5
Quindi, la distanza della retta r dal piano π è 5.
E così via.