Distanza di una retta parallela al piano

La distanza \( d \) di una retta \( r \) parallela a un piano \( \pi \) si calcola trovando un punto \( P \) sulla retta e proiettando perpendicolarmente questo punto sul piano.

La formula per calcolare la distanza \( d \) tra il punto \( P(x_0, y_0, z_0) \) e il piano dato dall'equazione \( ax + by + cz + d = 0 \) è:

$$ d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} $$

Questa mi formula fornisce la lunghezza del segmento perpendicolare che congiunge \( P \) al piano \( \pi \), ed è la stessa distanza per ogni punto sulla retta \( r \) dato che la retta è parallela al piano.

Esempio

Considero il piano \( \pi \) definito dall'equazione:

$$ 2x - 3y + 6z + 9 = 0 $$

Supponiamo che la retta \( r \) sia definita dalle equazioni parametriche:

$$ x = 13+3t $$

$$ y = 2t $$

$$ z = 0 $$

Devo prima verificare che la retta \( r \) sia effettivamente parallela al piano \( \pi \), calcolando il prodotto scalare tra il vettore normale del piano \( (2, -3, 6) \) e la direzione della retta \( (3, 2, 0) \):

$$ 2 \cdot 3 + (-3) \cdot 2 + 6 \cdot 0 = 6 - 6 + 0 = 0 $$

Il prodotto scalare è zero, quindi la retta è parallela al piano.

Scelgo un punto sulla retta \( r \), ad esempio, quando \( t = 0 \), il punto è \( (13, 0, 0) \). Applichiamo la formula per la distanza:

$$ d = \frac{|2(13) - 3(0) + 6(0) + 9|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2}} $$

$$ d = \frac{|26 + 9|}{\sqrt{4 + 9 + 36}} $$

$$ d = \frac{|35|}{\sqrt{49}} $$

$$ d = \frac{35}{7} = 5 $$

Quindi, la distanza della retta \( r \) dal piano \( \pi \) è 5.

E così via.