Piani paralleli
Due piani nello spazio sono paralleli se soddisfano una delle seguenti condizioni:
- Non hanno punti in comune, cioè non si intersecano. Questi sono detti piani paralleli non coincidenti.
- Hanno tutti i punti in comune, ovvero coincidono perfettamente. Questi sono detti piani coincidenti.
Ad esempio, i pavimenti di due piani di un edificio, se perfettamente orizzontali, sono piani paralleli non coincidenti.
La distanza tra due piani paralleli
La distanza tra due piani paralleli non coincidenti è la lunghezza del segmento perpendicolare che collega un punto di un piano con un punto dell’altro.
Questa distanza è costante per tutti i punti dei due piani.
Come si calcola la distanza tra due piani
In geometria analitica due piani hanno equazioni del tipo:
$$ Ax + By + Cz + D_1 = 0 $$
$$ Ax + By + Cz + D_2 = 0 $$
La distanza tra i due piani paralleli è data dalla formula seguente:
$$ d = \frac{|D_2 - D_1|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} $$
Dove \( A, B, C \) sono i coefficienti della normale ai piani.
Nota. Ovviamente, se la distanza è nulla $ d=0 $, i due piani sono coincidenti. Se, invece, la distanza è un valore positivo $ d>0 $, i due piani sono paralleli non coincidenti.
Esempio pratico
Considero due piani paralleli con equazioni:
$$ 2x + 3y + 6z + 4 = 0 $$
$$ 2x + 3y + 6z - 8 = 0 $$
Applicando la formula:
$$ d = \frac{| -8 - 4 |}{\sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2}} = \frac{12}{\sqrt{4+9+36}} = \frac{12}{\sqrt{49}} = \frac{12}{7} \approx 1.71 $$
Quindi, la distanza tra i due piani è 1.71 unità.
Proprietà del parallelismo tra piani
Il parallelismo tra piani gode delle seguenti proprietà matematiche:
- Proprietà riflessiva: ogni piano è parallelo a se stesso. $$ \alpha \parallel \alpha $$
- Proprietà simmetrica: se un piano \(\alpha\) è parallelo a un piano \(\beta\), allora anche il piano \(\beta\) è parallelo a \(\alpha\). $$ \alpha \parallel \beta \quad \Rightarrow \quad \beta \parallel \alpha $$
- Proprietà transitiva: se un piano \(\alpha\) è parallelo a un piano \(\beta\) e \(\beta\) è parallelo a un piano \(\gamma\), allora anche \(\alpha\) è parallelo a \(\gamma\). $$ \alpha \parallel \beta, \quad \beta \parallel \gamma \quad \Rightarrow \quad \alpha \parallel \gamma $$
Queste tre proprietà dimostrano che il parallelismo tra piani è una relazione di equivalenza in geometria.
Note
Alcune note aggiuntive e osservazioni personali sui piani paralleli
- Se due piani sono paralleli, allora una retta perpendicolare a un piano è perpendicolare anche all'altro piano.
- Dati due piani paralleli e due rette parallele che li intersecano, in modo perpendicolare o meno, i segmenti paralleli che appartengono alle rette e compresi tra i piani sono segmenti congruenti $ AB \cong A'B' $.
E così via.
