La scomposizione di un vettore
La scomposizione di un vettore è la somma delle componenti del vettore vx, vy, vz sugli assi cartesiani $$ \vec{v} = \vec{v_x} + \vec{v_y} + \vec{v_z} $$ che posso riscrivere come combinazione lineare dei versori ux, uy, uz $$ \vec{v} = \alpha_1 \vec{u_x} + \alpha_2 \vec{u_y} + \alpha_3 \vec{u_z} $$
Dove i versori ux, uy, uz sono i vettori unitari delle tre direzioni del sistema di riferimento (x,y,z).
Gli scalari α1, α2, α3 sono invece dei numeri opportunamente scelti.
Cosa sono le componenti del vettore? Le componenti del vettore sono le proiezioni del vettore stesso sugli assi cartesiani. Ecco un esempio di componenti vx e vy di un vettore v sul piano cartesiano a due dimensioni (x,y).
Anche le componenti del vettore sono a loro volta delle grandezze vettoriali. Non sono scalari.
Un esempio pratico
Prendo in considerazione il vettore v=(2,3)T nello spazio a due dimensioni.
$$ \vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} $$
Ecco la sua rappresentazione grafica
Proietto il vettore v sull'asse x delle ascisse e ottengo la sua componente vx.
Dove anche vx è una grandezza vettoriale.
Ora proietto il vettore v sull'asse y delle ordinate e ottengo la sua componente vy.
Anche vy è una grandezza vettoriale.
Ho ottenuto le componenti del vettore in entrambe le direzioni dello spazio.
$$ \vec{v_x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} $$
$$ \vec{v_y} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix} $$
La somma vettoriale delle componenti vx e vy è uguale al vettore v.
$$ \vec{v_x} + \vec{v_y} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \vec{v} $$
Posso riscrivere le componenti del vettore vx e vy come prodotto del relativo versore per uno scalare.
$$ \vec{v_x} = x \cdot \vec{u_x} $$
$$ \vec{v_y} = y \cdot \vec{u_y} $$
Dove x e y sono le coordinate del vettore v ossia x=2 e y=3
$$ \vec{v_x} = 2 \cdot \vec{u_x} $$
$$ \vec{v_y} = 3 \cdot \vec{u_y} $$
I versori degli assi cartesiani sono le direzioni ortogonali ux=(1,0)T e uy=(0,1)T del sistema cartesiano
$$ \vec{v_x} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} $$
$$ \vec{v_y} = 3 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$
Quindi, la somma delle componenti vx+vy posso scriverla come combinazione lineare dei versori ux e uy per gli scalari 2 e 3
$$ \vec{v_x} + \vec{v_y} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + 3 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$
E poiché la somma delle componenti è uguale al vettore v
$$ \vec{v} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + 3 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$
La combinazione lineare dei versori con gli scalari mi permette di ottenere il vettore v iniziale
$$ \vec{v} = \vec{v_x} + \vec{v_y} $$
$$ \vec{v} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + 3 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$
$$ \vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix} $$
$$ \vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} $$
Nota. Il modulo delle componenti vx e vy posso scriverlo anche con le funzioni trigonometriche del seno e del coseno. $$ | \vec{v_x} | = r \cdot \sin \Phi $$ $$ | \vec{v_y} | = r \cdot \cos \Phi $$ Dove Φ è l'angolo del vettore rispetto all'asse delle ascisse mentre r è la lunghezza del raggio vettore ossia il modulo del vettore v.
Il raggio vettore coincide con il raggio della circonferenza goniometrica. Per trovare la lunghezza r del raggio vettore basta applicare il teorema di Pitagora sui moduli (lunghezze) delle componenti vx e vy. $$ r = \sqrt{ |\vec{x}|^2 + |\vec{y}|^2 } $$ $$ r = \sqrt{ 2^2 + 3^2 } $$ $$ r = \sqrt{ 4 + 9 } $$ $$ r = \sqrt{ 13 } $$
Esempio 2
Se il vettore è applicato in un punto diverso dall'origine, la proiezione va calcolata sia all'estremo che all'origine del vettore.
E così via.