Le operazioni tra i numeri complessi

Le operazioni tra i numeri complessi sono le stesse dei numeri reali: somma, prodotto, sottrazione e divisione.

La somma tra numeri complessi

Dati due numeri complessi (x+iy) e (x'+iy') la somma dei numeri è uguale a $$ (x+iy) + (x'+iy') = (x+x')+i(y+y') $$

La spiegazione è molto semplice, basta sommare tra loro le parti reali e le parti immaginarie con le stesse regole algebriche dei numeri reali.

Esempio

Ho due numeri complessi

$$ 3+i2 $$ $$ 4+i7 $$

Facendo la somma algebrica dei numeri ottengo

$$ (3+i2) + (4+i7) = $$

$$ 3+i2 + 4+i7 = $$

$$ (3+4)+i(2+7) = $$

$$ = 7+i9 $$

Nota. Per fare prima avrei potuto scrivere i due numeri complessi come coordinate nello spazio (x,y) e sommare tra loro le posizioni. $$ (3+i2) + (4+i7) = $$ $$ (3,2)+(4,7) $$ $$ (3+4,2+7) $$ $$ (7,9) $$ sono le coordinate del numero complesso $$ 7+i9 $$ Il risultato è lo stesso.

La sottrazione tra numeri complessi

Dati due numeri complessi (x+iy) e (x'+iy') la differenza dei numeri è uguale a $$ (x+iy) - (x'+iy') = (x-x')+i(y-y') $$

La spiegazione è molto simile alla somma, basta sottrarre le rispettive parti reali e immaginarie con le stesse regole algebriche dei numeri reali.

Esempio

Ho due numeri complessi

$$ 4+i7 $$ $$ 3+i2 $$

Sottraggo algebricamente i numeri

$$ (4+i7) - (3+i2) = $$

$$ 4+i7 -3-i2 - = $$

$$ (4-3)+i(7-2) = $$

$$ = 1+i5 $$

Nota. Anche in questo caso avrei potuto scrivere i due numeri complessi come coordinate nello spazio (x,y) e calcolare la differenza tre le posizioni. $$ (4+i7) - (3+i2) = $$ $$ (4,7)-(3,2) $$ $$ (4-3,7-2) $$ $$ (1,5) $$ sono le coordinate del numero complesso $$ 1+i5 $$ Il risultato è lo stesso.

La moltiplicazione tra numeri complessi

Il prodotto tra due numeri complessi si ottiene con la seguente formula $$ (x+iy) \cdot (x'+iy') = (xx'-yy')+i(xy'+x'y) $$

In questo caso la spiegazione è meno intuitiva perché non basta applicare le regole algebriche dei numeri reali, occorre ricordarsi anche il concetto di unità immaginaria i=1 e i2=-1 ( ossia √-1 = -1 )

Nota. La formula per calcolare il prodotto tra numeri complessi in forma trigonometrica è diversa. $$ z \cdot z' = (d \cdot d') \cdot [ \cos(a+a') + i \cdot \sin(a+a') ] $$ Nella forma esponenziale si calcola in questo modo: $$ z \cdot z' = ( d \cdot e^{ia } ) \cdot ( d' \cdot e^{ia'} ) = ( d \cdot d' ) \cdot e^{i(a+a')} $$

Esempio

Ho due numeri complessi

$$ 4+i7 $$ $$ 3+i2 $$

Moltiplico i due numeri numeri

$$ (4+i7) \cdot (3+i2) = $$

Applicando la formula precedente

$$ (x+iy) \cdot (x'+iy') = (xx'-yy')+i(xy'+x'y) = $$

$$ (4+i7) \cdot (3+i2) = ((4 \cdot 3)-(7 \cdot 2))+i((4 \cdot 2)+(3 \cdot 7)) = $$

$$ (12-14)+i(8+21) = $$

$$ = -2+i29 $$

Nota. Posso ottenere lo stesso risultato anche usando le regole algebriche dei numeri reali e l'unità immaginaria i2=-1, senza usare la formula precedente. $$ (4+i7) \cdot (3+i2) = $$ $$ (4 \cdot 3 ) + (4 \cdot i2) + (i7 \cdot 3 ) + (i7 \cdot i2) $$ $$ 12 + i8 + i21 + i^2 14 = $$ $$ 12 + i8 + i21 + (-1) \cdot 14 = $$ $$ (12-14) + i (8+21) = $$ $$ = -2 + i \cdot 29 $$ Il risultato è lo stesso.

La divisione dei numeri complessi

Dati due numeri complessi x+iy e x'+iy', se il denominatore è diverso da zero la divisione si ottiene usando la seguente formula $$ \frac{x+iy}{x'+iy'} = \frac{xx'+yy'}{x'^2+y'^2}+i \cdot \frac{x'y-xy'}{x'^2+y'^2} $$ In alternativa, posso calcolare la divisione moltiplicando e dividendo per il coniugato del denominatore. $$ \frac{x+iy}{x'+iy'} = \frac{x+iy}{x'+iy'} \cdot \frac{x'-iy'}{x'-iy'} $$

La divisione nella forma trigonometrica si calcola con la seguente formula

$$ \frac{z}{z'} = \frac{d}{d'} \cdot [ \cos (a-a') + i \cdot \sin (a-a') ] $$

La divisione nella forma esponenziale si calcola in questo modo

$$ \frac{z}{z} = \frac{d \cdot e^{ia }}{d' \cdot e^{ia'}} = ( \frac{d}{d'} ) \cdot e^{i(a-a')} $$

Esempio

Ho due numeri complessi

$$ 3+i2 $$ $$ 4+i7 $$

Divido il primo numero per il secondo

$$ \frac{3+i2}{4+i7} $$

usando la formula della divisione dei numeri complessi

$$ \frac{ xx'+yy' }{ x'^2 + y'^2 } + i \cdot \frac{x'y-xy'}{x'^2 + y'^2} = $$

$$ \frac{ (3 \cdot 4)+ (2 \cdot 7) }{ 4^2 + 7^2 } + i \cdot \frac{(4 \cdot 2) - (3 \cdot 7) }{4^2 + 7^2} = $$

$$ \frac{ 12+14 }{ 16 + 49 } + i \cdot \frac{8 - 21 }{16 + 49} = $$

$$ = \frac{26 }{ 65 } + i \cdot \frac{-13 }{65} $$

$$ = \frac{26 }{ 65 } - i \cdot \frac{13 }{65} $$

Nota. Avrei potuto ottenere lo stesso risultato anche usando le regole algebriche dei numeri reali e l'unità immaginaria i2=-1. $$ \frac{3+i2}{4+i7} = $$ Moltiplico numeratore e denominatore per lo stesso fattore ossia per il coniugato del denominatore $$ \frac{3+i2}{4+i7} \cdot \frac{4-i7}{4-i7} = $$ Poi svolgo la moltiplicazione $$ \frac{(3+i2) \cdot (4-i7) }{(4+i7) \cdot ((4-i7)) } = $$ $$ \frac{12-i21+i8-i^214 }{ 16-i28+i28-i^249 } = $$ Sapendo che l'unità immaginaria i2=-1 $$ \frac{12-i21+i8-(-1) \cdot 14 }{ 16-i28+i28-(-1) \cdot 49 } = $$ $$ \frac{12-i21+i8 +14 }{ 16-i28+i28+ 49 } = $$ $$ \frac{(12+14)+i(8-21) }{ 16+49} = $$ $$ \frac{26+i(-13) }{65} = $$ $$ = \frac{26 }{ 65 } - i \cdot \frac{13 }{65} $$

La potenza di un numero complesso

La potenza di un numero complesso z=x+yi posso calcolarla usando le regole algebriche della potenza di un binomio (x+y)2 ricordandomi che il quadrato dell'unità immaginaria è i2=-1 $$ z^n = (x+yi)^2 $$

La potenza del numero complesso nella forma trigonometrica è

$$ z^n = d^n \cdot ( \cos (n \cdot a) + i \cdot \sin (n \cdot a) ) $$

Nella forma esponenziale si calcola in questo modo

$$ z^n = d^n \cdot e^{ia \cdot n } $$

Esempio

Devo calcolare il quadrato del numero complesso z=1+3i

$$ z^2 = (1+3i)^2 $$

Applico la regola del quadrato del binomio

$$ z^2 = 1^2+2 \cdot 3i + (3i)^2 $$

$$ z^2 = 1+6i + 9i^2 $$

Sapendo che il quadrato dell'unità immaginaria è i2=-1

$$ z^2 = 1+6i + 9 \cdot (-1) $$

$$ z^2 = 1+6i -9 $$

$$ z^2 = -8+6i $$

Il quadrato del numero complesso è z2=(1+3i)2=-8+6i

Nota. Posso calcolare la potenza del numero complesso z=1+3i anche se è rappresentato in forma trigonometrica. $$ z = \sqrt(10) \cdot ( \cos 71.57° + i \cdot \sin 71.57° ) $$ In questo caso basta applicare la formula seguente con n=2. $$ z^n = d^n \cdot ( \cos (n \cdot a) + i \cdot \sin (n \cdot a) ) $$ $$ z^2 = ( \sqrt{10} )^2 \cdot ( \cos (2 \cdot 71.57°) + i \cdot \sin (2 \cdot 71.57°) ) $$ $$ z^2 = 10 \cdot ( \cos (143.14°) + i \cdot \sin (143.14°) ) $$ $$ z^2 = -8 + i 6 $$

 

Il quadrato di un numero complesso

Il quadrato di un numero complesso (x,y)2 posso calcolarlo anche usando questa formula $$ (x,y)^2 = (x^2-y^2,2xy) $$

 

Esempio

Calcolo il quadrato del numero complesso

$$ z = (2,3) $$

La formula per calcolare il quadrato è

$$ z^2 = (x,y)^2 = (x^2-y^2,2xy) $$

In questo caso x=2 e y=3

$$ (2,3)^2 = (2^2-3^2,2 \cdot 2 \cdot 3) $$

$$ (2,3)^2 = (4-9,12) $$

$$ (2,3)^2 = (-5,12) $$

Il quadrato del numero complesso è (-5,12).

 

$$ z^2 = (2,3)^2 $$

In forma algebrica il risultato si scrive

$$ z^2 = -5 + 12 i $$

Verifica. Verifico il risultato calcolando il quadrato del numero complesso in forma algebrica z=(2,3)=2+3i $$ z^2 = (2+3i)^2 $$ $$ z^2 = 2^2+2 \cdot 2 \cdot 3i + (3i)^2 $$ $$ z^2 = 4+12i + 9i^2 $$ Sapendo che i2=-1 $$ z^2 = 4+12i + 9 \cdot (-1) $$ $$ z^2 = 4+12i -9 $$ $$ z^2 = -5+12i $$ Il risultato è lo stesso.

 

Il cubo del numero complesso

Per calcolare il cubo di numero complesso in forma algebrica applico la regola del cubo di un binomio $$ z^3=(a+bi)^3=a^3+3a^2(bi)+3a(bi)^2+(bi)^3 $$ ricordandomi che il quadrato dell'unità immaginaria è i2=-1

Esempio

Calcolo il quadrato del numero complesso z=2+3i

$$ z^3 = (2+3i)^3 $$

$$ z^3 = 2^3+3 \cdot 2^2 \cdot 3i + 3 \cdot 2 \cdot (3i)^2 + (3i)^3 $$

$$ z^3 = 8+36i + 54 i^2 + 27i^3 $$

Sapendo che i2=-1

$$ z^3 = 8+36i + 54 \cdot (-1) + 27i^3 $$

$$ z^3 = 8+36i - 54 + 27i^3 $$

$$ z^3 = -46+36i + 27i^3 $$

Sapendo che i3=i2·i e i2=-1

$$ z^3 = -46+36i + 27 \cdot (i^2 \cdot i) $$

$$ z^3 = -46+36i + 27 \cdot (-1) \cdot i $$

$$ z^3 = -46+36i - 27 i $$

$$ z^3 = -46+9i $$

Il cubo del numero complesso è z3=-46+9i

La radice di un numero complesso

Per calcolare la radice n-sima di un numero complesso lo scrivo in forma trigonometrica $$ z = d \cdot [ \cos a + i \cdot \sin a ] $$ e applico la seguente formula $$ \sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{d} \cdot [ \cos \frac{(a+2πk)}{n} + i \cdot \sin \frac{(a+2πk) }{n} ] $$ per ogni k da 0 a n-1.

La radice n-esima nella forma trigonometrica si calcola con la seguente formula

$$ \sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{d} \cdot [ \cos \frac{(a+2πk)}{n} + i \cdot \sin \frac{(a+2πk) }{n} ] $$ per ogni k da 0 a n-1.

Nella forma esponenziale si calcola così

$$ \sqrt[n]{z} = d^{\frac{1}{n}} \cdot e^{i \cdot \frac{(a+2πk)}{n} } $$

Esempio

Prendo in considerazione il numero

$$ z = -8 + i 6 $$

In forma trigonometrica il numero è

$$ z = 10 \cdot ( \cos (143.14°) + i \cdot \sin (143.14°) ) $$

in radianti

$$ z = 10 \cdot ( \cos (2.49 rad) + i \cdot \sin (2.49 rad) ) $$

Calcolo la radice quadrata che essendo quadrata (n=2) ammette due soluzioni

$$ \sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{d} \cdot [ \cos \frac{(a+2πk)}{n} + i \cdot \sin \frac{ (a+2πk) }{n} ] $$

Per k=0

$$ \sqrt[n]{z} = \sqrt[2]{10} \cdot [ \cos \frac {2.49}{2} + i \cdot \sin \frac{ 2.49 }{2} ] $$

$$ = 1 + 3 i $$

Per k=1

$$ \sqrt[n]{z} = \sqrt[2]{10} \cdot [ \cos \frac{ (2.49+2π)}{2} + i \cdot \sin \frac{ (2.49+2π) }{2} ] $$

$$ = - 1 - 3 i $$

Il reciproco di un numero complesso

Il reciproco di un numero complesso $ z_1 $ è un altro numero complesso $ z_2 $ che moltiplicato per il primo dà come risultato 1. $$ z_1 \cdot z_2 = 1 $$

Se un numero complesso è diverso da zero \( z_1 \neq 0 \), il reciproco di \( z_1 \) è dato dalla formula:

$$ z_2 = \frac{1}{z_1} = \frac{\overline{z_1}}{|z_1|^2} $$

Dove \( \overline{z_1} \) è il complesso coniugato di \( z_1 \) e \( |z_1|^2 \) è il modulo al quadrato di \( z_1 \), ossia \( z_1 \cdot \overline{z_1} \).

Ad esempio, se \( z_1 = a + bi \), con \( a, b \in \mathbb{R} \), allora il reciproco di \( z_1 \) è:$$ z_2 = \frac{a - bi}{a^2 + b^2} $$

E così via.

 

 


 

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