La divisione numeri complessi
Per dividere due numeri complessi a+bi e c+di $$ \frac{a+bi}{c+di} $$ moltiplico il numeratore e il denominatore per il coniugato del denominatore c-di. $$ \frac{a+bi}{c+di} = \frac{a+bi}{c+di} \cdot \frac{c-di}{c-di}$$ In alternativa, la divisione si ottiene anche usando la seguente formula $$ \frac{a+bi}{c+di} = \frac{ac+bd}{c^2+d^2}+i \cdot \frac{bc-ad}{c^2+d^2} $$
La divisione nella forma trigonometrica la divisione tra due numeri complessi z1=m1(cos γ1 + i·sin γ1) e z2=m2(cos γ2 + i·sin γ2) si calcola con la seguente formula
$$ \frac{z_1}{z_2} = \frac{m_1}{m_2} \cdot [ \cos (γ_1-γ_2) + i \cdot \sin (γ_1-γ_2) ] $$
Dove m è il modulo mentre γ è l'angolo del vettore del numero complesso sul piano di Gauss.
Nella divisione in forma esponenziale il quoziente di due numeri complessi è
$$ \frac{z_1}{z_1} = \frac{m_1 \cdot e^{iγ_1 }}{m_2 \cdot e^{iγ_2}} = ( \frac{m_1}{m_2} ) \cdot e^{i(γ_1-γ_2)} $$
Un esempio pratico
Ho due numeri complessi
$$ z_1=3+2i $$ $$ z_2=4+7i $$
Divido il primo numero per il secondo
$$ \frac{z_1}{z_2} = \frac{3+2i}{4+7i} $$
Primo metodo di calcolo
Per calcolare il quoziente z1/z2 moltiplico e divido il numeratore e il denominatore per il coniugato del denominatore z2'=4-7i
$$ \frac{z_1}{z_2} = \frac{3+2i}{4+7i} \cdot \frac{4-7i}{4-7i} $$
$$ \frac{z_1}{z_2} = \frac{(3+2i) \cdot (4-7i)}{(4+7i) \cdot (4-7i)} $$
$$ \frac{z_1}{z_2} = \frac{12-21i+8i-14i^2}{16-28i+28i-49i^2} $$
$$ \frac{z_1}{z_2} = \frac{12-13i-14i^2}{16-49i^2} $$
Sapendo che il quadrato dell'unità immaginaria è i2=-1
$$ \frac{z_1}{z_2} = \frac{12-13i-14 \cdot (-1)}{16-49 \cdot (-1) } $$
$$ \frac{z_1}{z_2} = \frac{12-13i+14}{16+49} $$
$$ \frac{z_1}{z_2} = \frac{26-13i}{65} $$
$$ \frac{z_1}{z_2} = \frac{26}{65} - \frac{13}{65} i $$
Secondo metodo di calcolo
Posso calcolare il quoziente della divisione anche usando la formula della divisione dei numeri complessi
$$ \frac{a+bi}{c+di} = \frac{ac+bd}{c^2+d^2}+i \cdot \frac{bc-ad}{c^2+d^2} $$
In questo caso z1=a+bi=3+2i e z2=c+di=4+7i
$$ \frac{ (3 \cdot 4)+ (2 \cdot 7) }{ 4^2 + 7^2 } + i \cdot \frac{(4 \cdot 2) - (3 \cdot 7) }{4^2 + 7^2} = $$
$$ \frac{ 12+14 }{ 16 + 49 } + i \cdot \frac{8 - 21 }{16 + 49} = $$
$$ = \frac{26 }{ 65 } + i \cdot \frac{-13 }{65} $$
$$ = \frac{26 }{ 65 } - i \cdot \frac{13 }{65} $$
Il risultato è lo stesso
La dimostrazione
Per spiegare la formula devo ricondurre la divisione alla moltiplicazione dei numeri complessi.
$$ \frac{a+bi}{c+di} $$
Applico la proprietà invariantiva della divisione.
Moltiplico il numeratore e il denominatore per il numero complesso coniugato del denominatore (c-di).
$$ \frac{a+bi}{c+di} \cdot \frac{c-di}{c-di} $$
Nota. La componente $$ \frac{c-di}{(c+di) \cdot (c-di)} = \frac{c-di}{c^2+cdi-cdi-(di)^2} = \frac{c-di}{c^2+d^2} $$ è il reciproco di $ c+di $, ovvero: $$ \frac{c-di}{c^2+d^2} = \frac{1}{c+di} $$ Quindi, l'espressione precedente può essere vista come il prodotto tra il numero $ a+bi $ e il reciproco di $ c+di $ $$ \frac{a+bi}{c+di} \cdot \frac{c-di}{c-di} = (a+bi) \cdot \frac{1}{c+di} $$ Il che conferma che la divisione tra due numeri complessi può essere visto come una frazione. $$ \frac{a+bi}{c+di} \cdot \frac{c-di}{c-di} = (a+bi) \cdot \frac{1}{c+di} = \frac{a+bi}{c+di} $$
Svolgo la moltiplicazione algebrica sia al numeratore che al denominatore
$$ \frac{(a+bi) \cdot (c-di) }{(c+di) \cdot (c-di) } $$
$$ \frac{ ac-adi + bci - bdi^2 }{ c^2 -cdi +cdi -d^2i^2 } $$
$$ \frac{ ac-adi + bci - bdi^2 }{ c^2 -d^2i^2 } $$
Sapendo che il quadrato dell'unità immaginaria è i2=-1
$$ \frac{ ac-adi + bci - bd \cdot (-1) }{ c^2 -d^2 \cdot (-1) } $$
$$ \frac{ ac-adi + bci + bd }{ c^2 +d^2 } $$
Metto in evidenza l'unità immaginaria al numeratore
$$ \frac{ ac+ bd + (bc-ad)i }{ c^2 +d^2 } $$
Poi separo i numeri reali e numeri immaginari tra loro
$$ \frac{ ac+ bd }{ c^2 +d^2 } - \frac{ bc-ad }{ c^2 +d^2 } i $$
In questo modo ottengo la formula della divisione dei numeri complessi.
E così via.
