La somma di due numeri complessi

La somma di due numeri complessi è molto semplice, basta sommare le parti reali e immaginarie tra loro. $$ (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i $$

La somma è un numero complesso che ha per parte reale la somma delle parti reali e per parte immaginaria la somma dei coefficienti delle parti immaginarie.

Un esempio pratico

Ho due numeri complessi

$$ z_1 = 2 + 3i $$

$$ z_2 = 5 + 2i $$

Per sommarli associo tra loro le parti reali e immaginarie

$$ z_1 + z_2 = (2 + 3i) + (5 + 2i) $$

$$ z_1 + z_2 = (2 + 5) + (3i + 2i) $$

$$ z_1 + z_2 = 7 + 5i $$

Ho così ottenuto la somma dei due numeri complessi.

Il metodo del parallelogramma

Ogni numero complesso è anche un vettore sul piano di Gauss.

Pertanto, dal punto di vista geometrico posso sommare i due numeri complessi anche sommando i relativi vettori con la regola del parallelogramma.

Un esempio pratico

Rappresento sul piano di Gauss i due numeri complessi z1=2+3i e z2=5+2i.

Al primo numero corrisponde il punto (2,3) mentre al secondo il punto (5,2).

la rappresentazione dei numeri complessi sul piano di Gauss

Congiungo l'origine (0,0) con i due punti per rappresentare i due vettori.

Poi sommo i due vettori tra loro con la regola del parallelogramma.

la somma dei due vettori

Il vettore somma collega l'origine con il punto del piano (7,5).

Al punto (7,5) del piano di Gauss è associato il numero complesso 7+5i.

E' lo stesso risultato della somma algebrica z1+z2.

Le proprietà della somma di due numeri complessi

La somma tra due numeri complessi soddisfa queste proprietà:

  • Proprietà commutativa
    L'addizione di numeri complessi è commutativa, cioè per due numeri complessi \((a; b)\) e \((c; d)\) si ha  $$ (a; b) + (c; d) = (c; d) + (a; b) $$

    Esempio. Dati due numeri complessi (1;2) e (3;4) $$ (1;2)+(3;4) =(3;4)+(1;2)=(1+3;2+4)  = (4;6) $$

  • Proprietà associativa
    L'addizione di numeri complessi è associativa, il che significa che, dati tre numeri complessi \((a; b)\), \((c; d)\), e \((e; f)\), si ha $$ (a; b) + (c; d)) + (e; f) = (a; b) + ((c; d) + (e; f)) $$

    Esempio. Dati tre numeri complessi (1;2) , (3;4), (5,6) $$ (1;2)+(3;4)+(5;6) =(1;2)+[ (3;4) + (5;6)] $$

  • Elemento neutro
    Il numero \((0; 0)\) è l'elemento neutro per l'addizione dei numeri complessi, poiché per ogni numero complesso \((a; b)\) si ha $$ (a; b) + (0; 0) = (a; b) $$

    Esempio. Dati un numero complesso (1;2) $$ (1;2)+(0;0) =(1;2) $$

  • Somma di numeri del tipo \((a; 0)\)
    La somma di due numeri complessi con seconda componente pari a zero, del tipo \((a; 0)\) e \((b; 0)\), è ancora un numero con seconda componente zero, ovvero \((a + b; 0)\). $$ (a;0)+(b;0)=(a+b;0) $$

    Esempio. Dati due numeri complessi (1;0) e (3;0) $$ (1;0)+(3;0) =(1+3;0+0) = (4;0) $$

Le dimostrazioni

A] Proprietà commutativa della somma di due numeri complessi

Per dimostrare la proprietà commutativa dell’addizione tra due numeri complessi, considero due numeri complessi generici \((a; b)\) e \((c; d)\), dove \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) sono numeri reali.

La somma di questi numeri è definita come:

$$ (a; b) + (c; d) = (a + c; b + d) $$

Ora calcolo la somma nell'ordine inverso, cioè \((c; d) + (a; b)\):

$$ (c; d) + (a; b) = (c + a; d + b) $$

Poiché l’addizione tra numeri reali è commutativa, deduco che \(a + c = c + a\) e \(b + d = d + b\).

Quindi posso scrivere

$$ (a + c; b + d) = (c + a; d + b) $$

Da cui segue che:

$$ (a; b) + (c; d) = (c; d) + (a; b) $$

Questo dimostra che l’addizione tra numeri complessi è commutativa.

B] Proprietà associativa

Per dimostrare la proprietà associativa dell'addizione tra numeri complessi, considero tre numeri complessi generici \((a; b)\), \((c; d)\) e \((e; f)\), dove \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), \(e\) e \(f\) sono numeri reali.

Vogliamo mostrare che:

$$ ((a; b) + (c; d)) + (e; f) = (a; b) + ((c; d) + (e; f)) $$

Innanzitutto, calcolo il lato sinistro.

$$  (a + c; b + d) + (e; f) = (a; b) + ((c; d) + (e; f))  $$

$$  ((a + c) + e; (b + d) + f) = (a; b) + ((c; d) + (e; f))  $$

Poi calcolo il lato destro

$$  ((a + c) + e; (b + d) + f) = (a; b) + (c + e; d + f)  $$

$$  ((a + c) + e; (b + d) + f) = (a + (c + e); b + (d + f))  $$

Poiché l'addizione tra numeri reali è associativa, posso scrivere \((a + c) + e = a + (c + e)\) 

$$  (\color{red}{a + (c + e)}; (b + d) + f) = (a + (c + e); b + (d + f))  $$

Per la stessa ragione, \((b + d) + f = b + (d + f)\).

$$  (a + (c + e); \color{red}{ b + (d + f) }) = (a + (c + e); b + (d + f))  $$

I due lati dell'equazione sono uguali.

Questo dimostra che l'addizione tra numeri complessi è associativa.

E così via.

 


 

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