La somma di due numeri complessi
La somma di due numeri complessi è molto semplice, basta sommare le parti reali e immaginarie tra loro. $$ (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i $$
La somma è un numero complesso che ha per parte reale la somma delle parti reali e per parte immaginaria la somma dei coefficienti delle parti immaginarie.
Un esempio pratico
Ho due numeri complessi
$$ z_1 = 2 + 3i $$
$$ z_2 = 5 + 2i $$
Per sommarli associo tra loro le parti reali e immaginarie
$$ z_1 + z_2 = (2 + 3i) + (5 + 2i) $$
$$ z_1 + z_2 = (2 + 5) + (3i + 2i) $$
$$ z_1 + z_2 = 7 + 5i $$
Ho così ottenuto la somma dei due numeri complessi.
Il metodo del parallelogramma
Ogni numero complesso è anche un vettore sul piano di Gauss.
Pertanto, dal punto di vista geometrico posso sommare i due numeri complessi anche sommando i relativi vettori con la regola del parallelogramma.
Un esempio pratico
Rappresento sul piano di Gauss i due numeri complessi z1=2+3i e z2=5+2i.
Al primo numero corrisponde il punto (2,3) mentre al secondo il punto (5,2).
Congiungo l'origine (0,0) con i due punti per rappresentare i due vettori.
Poi sommo i due vettori tra loro con la regola del parallelogramma.
Il vettore somma collega l'origine con il punto del piano (7,5).
Al punto (7,5) del piano di Gauss è associato il numero complesso 7+5i.
E' lo stesso risultato della somma algebrica z1+z2.
Le proprietà della somma di due numeri complessi
La somma tra due numeri complessi soddisfa queste proprietà:
- Proprietà commutativa
L'addizione di numeri complessi è commutativa, cioè per due numeri complessi \((a; b)\) e \((c; d)\) si ha $$ (a; b) + (c; d) = (c; d) + (a; b) $$Esempio. Dati due numeri complessi (1;2) e (3;4) $$ (1;2)+(3;4) =(3;4)+(1;2)=(1+3;2+4) = (4;6) $$
- Proprietà associativa
L'addizione di numeri complessi è associativa, il che significa che, dati tre numeri complessi \((a; b)\), \((c; d)\), e \((e; f)\), si ha $$ (a; b) + (c; d)) + (e; f) = (a; b) + ((c; d) + (e; f)) $$Esempio. Dati tre numeri complessi (1;2) , (3;4), (5,6) $$ (1;2)+(3;4)+(5;6) =(1;2)+[ (3;4) + (5;6)] $$
- Elemento neutro
Il numero \((0; 0)\) è l'elemento neutro per l'addizione dei numeri complessi, poiché per ogni numero complesso \((a; b)\) si ha $$ (a; b) + (0; 0) = (a; b) $$Esempio. Dati un numero complesso (1;2) $$ (1;2)+(0;0) =(1;2) $$
- Somma di numeri del tipo \((a; 0)\)
La somma di due numeri complessi con seconda componente pari a zero, del tipo \((a; 0)\) e \((b; 0)\), è ancora un numero con seconda componente zero, ovvero \((a + b; 0)\). $$ (a;0)+(b;0)=(a+b;0) $$Esempio. Dati due numeri complessi (1;0) e (3;0) $$ (1;0)+(3;0) =(1+3;0+0) = (4;0) $$
Le dimostrazioni
A] Proprietà commutativa della somma di due numeri complessi
Per dimostrare la proprietà commutativa dell’addizione tra due numeri complessi, considero due numeri complessi generici \((a; b)\) e \((c; d)\), dove \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) sono numeri reali.
La somma di questi numeri è definita come:
$$ (a; b) + (c; d) = (a + c; b + d) $$
Ora calcolo la somma nell'ordine inverso, cioè \((c; d) + (a; b)\):
$$ (c; d) + (a; b) = (c + a; d + b) $$
Poiché l’addizione tra numeri reali è commutativa, deduco che \(a + c = c + a\) e \(b + d = d + b\).
Quindi posso scrivere
$$ (a + c; b + d) = (c + a; d + b) $$
Da cui segue che:
$$ (a; b) + (c; d) = (c; d) + (a; b) $$
Questo dimostra che l’addizione tra numeri complessi è commutativa.
B] Proprietà associativa
Per dimostrare la proprietà associativa dell'addizione tra numeri complessi, considero tre numeri complessi generici \((a; b)\), \((c; d)\) e \((e; f)\), dove \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), \(e\) e \(f\) sono numeri reali.
Vogliamo mostrare che:
$$ ((a; b) + (c; d)) + (e; f) = (a; b) + ((c; d) + (e; f)) $$
Innanzitutto, calcolo il lato sinistro.
$$ (a + c; b + d) + (e; f) = (a; b) + ((c; d) + (e; f)) $$
$$ ((a + c) + e; (b + d) + f) = (a; b) + ((c; d) + (e; f)) $$
Poi calcolo il lato destro
$$ ((a + c) + e; (b + d) + f) = (a; b) + (c + e; d + f) $$
$$ ((a + c) + e; (b + d) + f) = (a + (c + e); b + (d + f)) $$
Poiché l'addizione tra numeri reali è associativa, posso scrivere \((a + c) + e = a + (c + e)\)
$$ (\color{red}{a + (c + e)}; (b + d) + f) = (a + (c + e); b + (d + f)) $$
Per la stessa ragione, \((b + d) + f = b + (d + f)\).
$$ (a + (c + e); \color{red}{ b + (d + f) }) = (a + (c + e); b + (d + f)) $$
I due lati dell'equazione sono uguali.
Questo dimostra che l'addizione tra numeri complessi è associativa.
E così via.