La moltiplicazione tra numeri complessi
Il prodotto tra due numeri complessi z1 = (a,b) e z2= (c,d) si calcola usando la formula seguente $$ (a,b) \cdot (c,d) = (a \cdot c - b \cdot d, a \cdot d + b \cdot c ) $$
Se i numeri complessi sono in forma algebrica z1=a+bi e z2=c+di $$ (a+bi) \cdot (c+di) = a \cdot (c+di) + bi \cdot (c+di) $$ se i numeri sono in forma trigonometrica z1=m1·[cos(γ1)+i·sin(γ1)] e z2=m2·[cos(γ2)+i·sin(γ2)] $$ z_1 \cdot z_2 = (m_1 \cdot m_2) \cdot [ \cos(γ_1+γ_2) + i \cdot \sin(γ_1+γ_2) ] $$ se i numeri sono in forma esponenziale z1=m1·ei·γ1 e z2=m2·ei·γ2 $$ z_1 \cdot z_2 = ( m_1 \cdot m_2 ) \cdot e^{i(γ_1+γ_2)} $$
La dimostrazione
Se i due numeri complessi sono in forma algebrica calcolo il prodotto dei binomi.
$$ (a+bi) \cdot (c+di) = ac+adi+bci +bdi^2 $$
Poi sostituisco il quadrato dell'unità immaginaria i2 con -1.
$$ = ac+adi+bci +bd (-1) $$
$$ = ac+adi+bci -bd $$
$$ = (ac-bd) + i \cdot (ad+bc) $$
Il risultato finale è la formula iniziale.
Un esempio pratico
Ho due numeri complessi
$$ z_1 = (3,4) $$ $$ z_2 = (2,1) $$
Dal punto di vista grafico
Moltiplico i due numeri fra loro usando la formula (a,b)(c,d)=(ac-bd, ad+bc)
$$ z_1 \cdot z_2 = (3,4) \cdot (2,1) = (2 \cdot 3 - 4 \cdot 1, 3 \cdot 1 + 4 \cdot 2) = (2,11) $$
Il prodotto dei due numeri complessi è (2,11).
Esempio 2
Scrivo gli stessi numeri complessi dell'esempio precedente nella forma algebrica.
$$ z_1 = 3+4i $$ $$ z_2 = 2+i $$
Poi moltiplico tra loro i numeri complessi seguendo le regole tradizionali dell'algebra
$$ z_1 \cdot z_2 = ( 3+4i ) \cdot (2+i) $$
$$ = 3 \cdot (2+i) + 4i \cdot (2+i) $$
$$ = 6 + 3i + 8i + 4i^2 $$
$$ = 6 + 11i + 4i^2 $$
Sapendo che il quadrato dell'unità immaginaria i2=-1 è meno uno
$$ = 6 + 11i + 4(-1) $$
$$ = 6 + 11i - 4 $$
$$ = 2 + 11i $$
Il risultato finale è lo stesso 2+11i = (2,11).
Esempio 3
Riscrivo gli stessi numeri complessi dell'esempio precedente in forma trigonometrica.
$$ z_1 = 5 \cdot ( \cos 53,13° + i \cdot \sin 53,13° ) $$
$$ z_2 = 2,24 \cdot ( \cos 26,57° + i \cdot \sin 26,57° ) $$
Il prodotto dei due numeri relativi è il seguente
$$ z_1 \cdot z_2 = 5 \cdot ( \cos 53,13° + i \cdot \sin 53,13° ) \cdot 2,24 \cdot ( \cos 26,57° + i \cdot \sin 26,57° ) $$
$$ z_1 \cdot z_2 = 5 \cdot 2,24 \cdot [ \cos (53,13°+26,57°) + i \cdot \sin (53,13°+26,57°) ] $$
$$ z_1 \cdot z_2 = 11,02 \cdot [ \cos (79.7°) + i \cdot \sin (79.7°) ] $$
Esempio 4
Riscrivo gli stessi numeri complessi dell'esempio precedente in forma esponenziale
$$ z_1 = 5 \cdot e^{i \cdot 53,13°} $$
$$ z_2 = 2,24 \cdot e^{i \cdot 26,57°} $$
Il prodotto dei due numeri relativi è il seguente
$$ z_1 \cdot z_2 = 5 \cdot e^{i \cdot 53,13°} \cdot 2,24 \cdot e^{i \cdot 26,57°} $$
$$ z_1 \cdot z_2 = 11,02 \cdot e^{i \cdot (53,13°+26,57°)} $$
$$ z_1 \cdot z_2 = 11,02 \cdot e^{i \cdot 79,7°} $$
Le proprietà della moltiplicazione tra numeri complessi
La moltiplicazione tra due numeri complessi soddisfa le seguenti proprietà
- La proprietà commutativa
Invertendo l'ordine dei fattori il prodotto non cambia $$ z_1 \cdot z_2 = z_2 \cdot z_1 $$ - La proprietà distributiva rispetto all'addizione
Il prodotto di un numero z1 per una somma z2+z3 è uguale alla somma dei prodotti z1z2+z1z3. $$ z_1 \cdot (z_2 + z_3) = z_1 \cdot z_2 + z_1 \cdot z_3 $$ - L'elemento neutro
L'elemento neutro della moltiplicazione è il numero (1,0) perché qualsiasi numero moltiplicato per (1,0) dà come risultato il numero stesso. - L'elemento assorbente
L'elemento assorbente della moltiplicazione è il numero (0,0) perché qualsiasi numero moltiplicato per (0,0) dà come risultato il numero (0,0).
E così via.
