La moltiplicazione tra numeri complessi

Il prodotto tra due numeri complessi z₁ = (a,b) e z₂= (c,d) si calcola usando la formula seguente $$ (a,b) \cdot (c,d) = (a \cdot c - b \cdot d, a \cdot d + b \cdot c ) $$

Se i numeri complessi sono in forma algebrica z₁=a+bi e z₂=c+di $$ (a+bi) \cdot (c+di) = a \cdot (c+di) + bi \cdot (c+di) $$ se i numeri sono in forma trigonometrica z₁=m₁·[cos(γ₁)+i·sin(γ₁)] e z₂=m₂·[cos(γ₂)+i·sin(γ₂)] $$ z_1 \cdot z_2 = (m_1 \cdot m_2) \cdot [ \cos(γ_1+γ_2) + i \cdot \sin(γ_1+γ_2) ] $$ se i numeri sono in forma esponenziale z₁=m₁·e^i·γ₁ e z₂=m₂·e^i·γ₂ $$ z_1 \cdot z_2 = ( m_1 \cdot m_2 ) \cdot e^{i(γ_1+γ_2)} $$

La spiegazione

Il prodotto tra due numeri complessi in forma algebrica posso vederlo come il prodotto tra due binomi.

$$ (a+bi) \cdot (c+di)  $$

 

Svolgo il prodotto tra i due binomi seguendo le regole dell'algebra tradizionale.

$$ (a+bi) \cdot (c+di) = ac+adi+bci +bdi^2 $$

Poi sostituisco il quadrato dell'unità immaginaria i² con -1.

$$ = ac+adi+bci +bd (-1) $$

$$ = ac+adi+bci -bd $$

$$ = (ac-bd) + i \cdot (ad+bc) $$

Il risultato finale è la formula iniziale della moltiplicazione tra numeri complessi.

Un esempio pratico

Ho due numeri complessi

$$ z_1 = (3,4) $$ $$ z_2 = (2,1) $$

Dal punto di vista grafico

Moltiplico i due numeri fra loro usando la formula (a,b)(c,d)=(ac-bd, ad+bc)

$$ z_1 \cdot z_2 = (3,4) \cdot (2,1) = (2 \cdot 3 - 4 \cdot 1, 3 \cdot 1 + 4 \cdot 2) = (2,11) $$

Il prodotto dei due numeri complessi è (2,11).

Esempio 2

Scrivo gli stessi numeri complessi dell'esempio precedente nella forma algebrica.

$$ z_1 = 3+4i $$ $$ z_2 = 2+i $$

Poi moltiplico tra loro i numeri complessi seguendo le regole tradizionali dell'algebra

$$ z_1 \cdot z_2 = ( 3+4i ) \cdot (2+i) $$

$$ = 3 \cdot (2+i) + 4i \cdot (2+i) $$

$$ = 6 + 3i + 8i + 4i^2 $$

$$ = 6 + 11i + 4i^2 $$

Sapendo che il quadrato dell'unità immaginaria i²=-1 è meno uno

$$ = 6 + 11i + 4(-1) $$

$$ = 6 + 11i - 4 $$

$$ = 2 + 11i $$

Il risultato finale è lo stesso 2+11i = (2,11).

Esempio 3

Riscrivo gli stessi numeri complessi dell'esempio precedente in forma trigonometrica.

$$ z_1 = 5 \cdot ( \cos 53,13° + i \cdot \sin 53,13° ) $$

$$ z_2 = 2,24 \cdot ( \cos 26,57° + i \cdot \sin 26,57° ) $$

Il prodotto dei due numeri relativi è il seguente

$$ z_1 \cdot z_2 = 5 \cdot ( \cos 53,13° + i \cdot \sin 53,13° ) \cdot 2,24 \cdot ( \cos 26,57° + i \cdot \sin 26,57° ) $$

$$ z_1 \cdot z_2 = 5 \cdot 2,24 \cdot [ \cos (53,13°+26,57°) + i \cdot \sin (53,13°+26,57°) ] $$

$$ z_1 \cdot z_2 = 11,02 \cdot [ \cos (79.7°) + i \cdot \sin (79.7°) ] $$

Esempio 4

Riscrivo gli stessi numeri complessi dell'esempio precedente in forma esponenziale

$$ z_1 = 5 \cdot e^{i \cdot 53,13°} $$

$$ z_2 = 2,24 \cdot e^{i \cdot 26,57°} $$

Il prodotto dei due numeri relativi è il seguente

$$ z_1 \cdot z_2 = 5 \cdot e^{i \cdot 53,13°} \cdot 2,24 \cdot e^{i \cdot 26,57°} $$

$$ z_1 \cdot z_2 = 11,02 \cdot e^{i \cdot (53,13°+26,57°)} $$

$$ z_1 \cdot z_2 = 11,02 \cdot e^{i \cdot 79,7°} $$

Le proprietà della moltiplicazione tra numeri complessi

La moltiplicazione tra due numeri complessi soddisfa le seguenti proprietà

• La proprietà commutativa
  Invertendo l'ordine dei fattori il prodotto non cambia $$ z_1 \cdot z_2 = z_2 \cdot z_1 $$

  Esempio. Calcolo il prodotto di due numeri complessi: \( z_1 = 1 + 2i \) e \( z_2 = 3 + i \) $$  z_1 \cdot z_2 = (1 + 2i) \cdot (3 + i)  $$ $$  z_1 \cdot z_2 = (1 + 7i) $$ Se inverto l'ordine dei fattori, il risultato è lo stesso.  $$  z_2 \cdot z_1 = (3 + i) \cdot (1 + 2i)   $$ $$  z_2 \cdot z_1 = (1 + 7i) $$  Questo conferma la proprietà associativa.

• La proprietà associativa
  La proprietà associativa dei numeri complessi afferma che, dati tre numeri complessi \( z_1 \), \( z_2 \) e \( z_3 \), la somma o il prodotto non cambia se si cambiano le parentesi: $$ (z_1 \cdot z_2) \cdot z_3 = z_1 \cdot (z_2 \cdot z_3) $$ Questa proprietà garantisce che l'ordine di raggruppamento nelle operazioni non altera il risultato finale.

  Esempio. Considero tre numeri complessi: \( z_1 = 1 + 2i \), \( z_2 = 3 + i \) e \( z_3 = 2 - i \) e calcolo il prodotto $$  (z_1 \cdot z_2) \cdot z_3 = [(1 + 2i) \cdot (3 + i)] \cdot (2 - i)  $$ $$  (z_1 \cdot z_2) \cdot z_3 = (1 + 7i) \cdot (2 - i) $$ $$ (z_1 \cdot z_2) \cdot z_3 = (9 + 13i) $$ Se raggruppo i fattori in modo diverso il risultato finale è lo stesso. $$ z_1 \cdot (z_2 \cdot z_3) = (1 + 2i) \cdot [ (3 +i) \cdot (2-i)]  $$ $$ z_1 \cdot (z_2 \cdot z_3) = (1 + 2i) \cdot (7-i) $$ $$ z_1 \cdot (z_2 \cdot z_3) = (9 + 13i) $$  Questo conferma la proprietà associativa.

• La proprietà distributiva rispetto all'addizione
  Il prodotto di un numero z1 per una somma z2+z3 è uguale alla somma dei prodotti z₁z₂+z₁z₃. $$ z_1 \cdot (z_2 + z_3) = z_1 \cdot z_2 + z_1 \cdot z_3 $$

  Esempio. Considero tre numeri complessi \( z_1 = 1 + 2i \), \( z_2 = 3 + i \), e \( z_3 = 2 - i \). Calcolo il prodotto z₁(z₂+z₃) $$ z_1 \cdot (z_2 + z_3) = (1 + 2i) \cdot [(3 + i) + (2 - i)] $$ $$ z_1 \cdot (z_2 + z_3) = (1 + 2i) \cdot (5 + 0i) $$ $$ z_1 \cdot (z_2 + z_3) = (5 + 10i) $$ Ora verifico calcolando il prodotto z₁z₂+z₁z₃ $$ z_1 \cdot z_2 + z_1 \cdot z_3 = (1 + 2i) \cdot (3 + i) + (1 + 2i) \cdot (2 - i) $$ $$ z_1 \cdot z_2 + z_1 \cdot z_3 = (1 + 7i) + (4 + 3i) $$ $$ z_1 \cdot z_2 + z_1 \cdot z_3 = (5 + 10i)$$ Il risultato finale è lo stesso. Questo conferma la proprietà distributiva rispetto all'addizione.

• L'elemento neutro
  L'elemento neutro della moltiplicazione è il numero (1,0) perché qualsiasi numero moltiplicato per (1,0) dà come risultato il numero stesso.

  Esempio. Moltiplico il numero complesso \( z_1 = 1 + 2i \) per \( z_2 = 1 + 0i \). $$ z_1 \cdot z_2 = (1 + 2i) \cdot (1 + 0i) $$$$ z_1 \cdot z_2 = 1 + 2i  $$ Il risultato finale è lo stesso.

• L'elemento assorbente
  L'elemento assorbente della moltiplicazione è il numero (0,0) perché qualsiasi numero moltiplicato per (0,0) dà come risultato il numero (0,0).

  Esempio. Moltiplico il numero complesso \( z_1 = 1 + 2i \) per \( z_2 = 0 + 0i \). $$ z_1 \cdot z_2 = (1 + 2i) \cdot (0 + 0i) $$$$ z_1 \cdot z_2 = 0 + 0i = 0  $$ Il risultato finale è zero.

• Prodotto tra numeri complessi reali
  Quando due numeri complessi hanno parte immaginaria nulla, cioè sono del tipo \( (a, 0) \) e \( (b, 0) \), il loro prodotto è uguale al prodotto delle loro parti reali, mantenendo la parte immaginaria nulla:  $$ (a, 0) \cdot (b, 0) = (ab, 0) $$

  Esempio. Considero i numeri \( z_1 = (3, 0) \) e \( z_2 = (4, 0) \). Calcolo il loro prodotto:  $$  (3, 0) \cdot (4, 0) = (3 \cdot 4, 0) = (12, 0) $$  Questo risultato conferma che il prodotto tra due numeri complessi reali è equivalente al prodotto delle loro parti reali.

Le dimostrazioni

A] Proprietà commutativa del prodotto

Per dimostrare la proprietà commutativa del prodotto tra due numeri complessi \( z_1 \) e \( z_2 \), devo mostrare che:

$$ z_1 \cdot z_2 = z_2 \cdot z_1 $$

Supponendo che \( z_1 = a + bi \) e \( z_2 = c + di \), dove \( a, b, c, d \) sono numeri reali. Calcolo il prodotto in entrambi gli ordini:

• Calcolo \( z_1 \cdot z_2 \): $$ z_1 \cdot z_2 = (a + bi) \cdot (c + di) $$ Utilizzo la proprietà distributiva del prodotto:
  $$ z_1 \cdot z_2 = ac + adi + bci + bdi^2 $$ Sostituisco \( i^2 = -1 \) $$ z_1 \cdot z_2 = ac - bd + (ad + bc)i $$
• Calcolo \( z_2 \cdot z_1 \): $$ z_2 \cdot z_1 = (c + di) \cdot (a + bi) $$ Ancora una volta, utilizzo la proprietà distributiva: $$  z_2 \cdot z_1 = ca + cbi + dai + dbi^2 $$ Sostituisco \( i^2 = -1 \) $$ z_2 \cdot z_1 = ca - db + (cb + ad)i $$

Quindi il risultato finale è lo stesso, poiché i prodotti delle parti reali e immaginarie sono uguali in entrambi i casi.

$$ z_1 \cdot z_2 = z_2 \cdot z_1 $$

$$ ac - bd + (ad + bc)i  = ca - db + (cb + ad)i $$

Ad esempio, ac=ca, bd=db, bc=cb, infine (cb+ad)=(ad+bc)

$$ ac - bd + (ad + bc)i  = ca - db + (cb + ad)i $$

$$ ac - bd + (ad + bc)i  = ac - bd + (ad+ bc)i $$

Quindi, la proprietà commutativa del prodotto è dimostrata per i numeri complessi.

B] Proprietà associativa del prodotto

Per dimostrare la proprietà associativa del prodotto tra tre numeri complessi \( z_1 \), \( z_2 \) e \( z_3 \), devo mostrare che:

$$ (z_1 \cdot z_2) \cdot z_3 = z_1 \cdot (z_2 \cdot z_3) $$

Supponendo che \( z_1 = a + bi \), \( z_2 = c + di \) e \( z_3 = e + fi \), dove \( a, b, c, d, e, f \) sono numeri reali.

Calcolo il prodotto in entrambi i raggruppamenti:

• Calcolo \( (z_1 \cdot z_2) \cdot z_3 \)
  Innanzitutto calcolo \( z_1 \cdot z_2 \) $$ z_1 \cdot z_2 = (a + bi)(c + di) = ac - bd + (ad + bc)i $$Ora prendo il risultato e lo moltiplico per \( z_3 \):$$ (z_1 \cdot z_2) \cdot z_3 = [ac - bd + (ad + bc)i] \cdot (e + fi) $$ Utilizzo la proprietà distributiva per espandere il prodotto $$ = (ac - bd)e + (ac - bd)fi + (ad + bc)ei + (ad + bc)fi^2 $$ Sostituendo \( i^2 = -1 \):$$ = ace - bde - (ad + bc)f + [(ac - bd)f + (ad + bc)e]i $$ $$ = ace - bde - adf - bcf + [(ac - bd)f + (ad + bc)e]i $$
• Calcolo \( z_1 \cdot (z_2 \cdot z_3) \)
  Calcolo prima \( z_2 \cdot z_3 \) $$ z_2 \cdot z_3 = (c + di)(e + fi) = ce - df + (cf + de)i $$Ora prendo il risultato e lo moltiplico per \( z_1 \) $$ z_1 \cdot (z_2 \cdot z_3) = (a + bi) \cdot [ce - df + (cf + de)i] $$Utilizzo la proprietà distributiva per espandere il prodotto $$ = ace - adf - bcf - bde + [(ac - bd)f + (ad + bc)e]i $$

Osservando i risultati di entrambe le operazioni, notiamo che le parti reali e immaginarie di \( (z_1 \cdot z_2) \cdot z_3 \) e \( z_1 \cdot (z_2 \cdot z_3) \) sono identiche, ho dimostrato che:

$$ (z_1 \cdot z_2) \cdot z_3 = z_1 \cdot (z_2 \cdot z_3) $$

Quindi, la proprietà associativa del prodotto è dimostrata per i numeri complessi.

C] Proprietà distributiva rispetto all'addizione

Per dimostrare la proprietà distributiva del prodotto rispetto all'addizione tra numeri complessi \( z_1 \), \( z_2 \) e \( z_3 \), devo mostrare che:

$$ z_1 \cdot (z_2 + z_3) = z_1 \cdot z_2 + z_1 \cdot z_3 $$

Dove \( z_1 = a + bi \), \( z_2 = c + di \), e \( z_3 = e + fi \) sono numeri complessi e \( a, b, c, d, e, f \) sono numeri reali.

Calcolo entrambi i membri dell’equazione per verificare che siano uguali:

• Calcolo di \( z_1 \cdot (z_2 + z_3) \)
  Per prima cosa sommo \( z_2 \) e \( z_3 \)$$ z_2 + z_3 = (c + di) + (e + fi) = (c + e) + (d + f)i $$ Ora moltiplico \( z_1 \) per la somma \( z_2 + z_3 \) $$ z_1 \cdot (z_2 + z_3) = (a + bi) \cdot [(c + e) + (d + f)i] $$ Utilizzo la proprietà distributiva per espandere il prodotto $$ = a(c + e) + a(d + f)i + bi(c + e) + bi(d + f)i $$ Sostituisco \( i^2 = -1 \)$$ = [a(c + e) - b(d + f)] + [a(d + f) + b(c + e)]i $$ $$ = [ac + ae - bd -bf] + [ad + af + bc + be]i $$
• Calcolo di \( z_1 \cdot z_2 + z_1 \cdot z_3 \)
  Calcolo separatamente \( z_1 \cdot z_2 \) e \( z_1 \cdot z_3 \) Per \( z_1 \cdot z_2 \): $$ z_1 \cdot z_2 = (a + bi) \cdot (c + di) $$ Espando usando la proprietà distributiva $$ = ac - bd + (ad + bc)i $$ Per \( z_1 \cdot z_3 \): $$ z_1 \cdot z_3 = (a + bi) \cdot (e + fi) $$ Espando usando la proprietà distributiva $$ = ae - bf + (af + be)i $$ Sommo \( z_1 \cdot z_2 \) e \( z_1 \cdot z_3 \) $$ z_1 \cdot z_2 + z_1 \cdot z_3 = [ac + ae - bd - bf] + [(ad + bc) + (af + be)]i $$ $$ = [ac + ae - bd - bf] + [ad + bc + af + be]i $$

Confrontando i risultati, vedo che le parti reali e immaginarie coincidono, quindi:

$$ z_1 \cdot (z_2 + z_3) = z_1 \cdot z_2 + z_1 \cdot z_3 $$

Questo dimostra la proprietà distributiva del prodotto rispetto all'addizione per i numeri complessi.

Note a margine

Alcune osservazioni e note aggiuntive sulla moltiplicazione tra numeri complessi.

• Prodotto di due numeri complessi coniugati
  Il prodotto di un numero complesso \( z = a + bi \) e del suo coniugato \( \overline{z} = a - bi \) è un numero reale, uguale alla somma del quadrato della parte reale \( a \) e del quadrato del coefficiente della parte immaginaria \( b \). $$ z \cdot \overline{z} = (a + bi)(a - bi) = a^2 + b^2 $$ Questo risultato corrisponde al modulo al quadrato del numero complesso \( z \): $$ |z|^2 = a^2 + b^2 $$

  Esempio. Considero il numero complesso \( z = 3 + 4i \). Il suo coniugato è \( \overline{z} = 3 - 4i \). Calcolo il prodotto \( z \cdot \overline{z} \): $$ z \cdot \overline{z} = (3 + 4i)(3 - 4i) $$ Applico la formula del prodotto tra un binomio e il suo coniugato: $$ z \cdot \overline{z} = 3^2 - (4i)^2 $$ Poiché \( i^2 = -1 \) ottengo: $$
  z \cdot \overline{z} = 3^2 - 4^2(-1) = 9 + 16 = 25 $$ Quindi, il prodotto di \( z \) e \( \overline{z} \) è \( 25 \), un numero reale.

E così via.