Il modulo di un numero complesso
Il modulo di un numero complesso è un numero reale non negativo (positivo o nullo) pari alla radice quadrata della somma dei quadrati della parte reale e immaginaria. Si indica con due barre verticali. $$ |z| = |a+bi| = \sqrt{a^2+b^2} $$ Dal punto di vista geometrico il modulo è la lunghezza del vettore che congiunge il numero complesso (a,b)
Dove a e b sono due numeri reali che compongono il numero complesso z=a+bi
Il termine a è la parte reale Re(z)=a del numero complesso mentre il termine b è il coefficiente della parte immaginaria Im(z)=bi.
Nota. Il modulo del vettore permette di applicare la trigonometria e il calcolo vettoriale allo studio dei numeri complessi. Ad esempio, conoscendo il modulo e l'angolo del vettore rispetto alle ascisse posso rappresentare i numeri complessi in forma trigonometrica e in forma polare.
Il significato geometrico del modulo
Un numero complesso è una coppia ordinata di numeri reali.
$$ z=(a,b) $$
Quindi, è un punto del piano di Gauss.
Ogni punto del piano è un numero complesso, e viceversa.
Nota. Nel piano di Gauss l'ascissa misura i numeri reali (Re) mentre le ordinate i numeri immaginari (Im).
Il modulo del numero complesso è la lunghezza del segmento orientato (vettore) che congiunge l'origine con il punto (a,b).
La proiezione del punto sull'asse delle ascisse (o delle ordinate) traccia sul piano un triangolo rettangolo.
I cateti (OB) e (AB) del triangolo rettangolo sono rispettivamente la parte reale (a) e il coefficiente immaginario (b) del numero complesso (a,b)
$$ \overline{OB} = Re(z) = a $$
$$ \overline{AB} = Im(z) = b $$
L'ipotenusa (OA) è invece il modulo del numero complesso.
$$ \overline{OA} = |z| $$
Secondo il teorema di Pitagora il quadrato dell'ipotenusa è uguale alla somma dei cateti al quadrato.
$$ |z| = \overline{OA}^2 = \overline{OB}^2 + \overline{AB}^2 $$
Per la proprietà invariantiva calcolo la radice quadrata in entrambi i membri dell'equazione.
$$ \sqrt{\overline{OA}^2} = \sqrt{ \overline{OB}^2 + \overline{AB}^2 } $$
$$ |z| = \overline{OA} = \sqrt{ \overline{OB}^2 + \overline{AB}^2 } $$
Sapendo che il segmento OB=Re(z)=a e il segmento AB=Im(z)=b.
$$ |z| = \sqrt{ \overline{OB}^2 + \overline{AB}^2 } = \sqrt{ a^2 + b^2 }$$
In questo modo ottengo la formula del modulo del numero complesso (a,b).
In conclusione, il modulo del numero complesso è la lunghezza del vettore applicato che punta alle coordinate (a,b) del piano.
Il modulo non può essere un numero negativo perché misura una lunghezza.
In geometria la misura di una lunghezza può soltanto essere positiva o nulla.
Nota. Il numero complesso (0,0) è l'unico numero ad avere un modulo pari a zero perché corrisponde al vettore nullo. Tutti gli altri numeri complessi hanno un modulo positivo.
Un esempio pratico
Considero il numero complesso
$$ z=(a,b)=(3,4) $$
La parte reale del numero complesso (a,b) è a=3 mentre il coefficiente immaginario è b=4.
In forma algebrica il numero complesso è anche scritto
$$ z = a+bi = 3+4i $$
Il modulo del numero complesso è 5
$$ |z|=\sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{3^2+4^2} $$ $$ |z| =\sqrt{9+16} $$ $$ |z| =\sqrt{25} $$ $$ |z| = 5 $$
Il modulo è uguale alla lunghezza del vettore che congiunge l'origine del piano con il punto (3,4).
E così via.
