Il reciproco di un numero complesso

Il reciproco di un numero complesso z=a+bi è un numero complesso 1/z $$\frac{1}{z} = \frac{1}{a+bi}$$ tale che il prodotto z·1/z è uguale 1. $$z \cdot \frac{1}{z} = 1$$ Dove 1 è l'elemento neutro della moltiplicazione. In generale, il reciproco di un numero complesso si ottiene nel seguente modo: $$z^{-n} = \frac{1}{z^n}$$

Per trovare il reciproco di un numero complesso $z_1$ posso svolgere i vari passaggi algebrici a partire da $\frac{1}{z_1}$.

Ad esempio, per svolgere la divisione $\frac{1}{z_1}$, moltiplico e divido per il coniugato $\bar{z_1}$

$$z_2  = \frac{1}{ z_1 } \cdot \frac{ \bar{z_1} }{ \bar{z_1} }$$

Il risultato finale è il numero complesso $z_2$ ossia il reciproco di $z_1$

$$z_1 \cdot z_2 = 1$$

Metodo alternativo

Quando un numero complesso è diverso da zero $z_1 \neq 0$, il reciproco di $z_1$ posso trovarlo anche usando la formula seguente:

$$z_2 = \frac{1}{z_1} = \frac{\overline{z_1}}{|z_1|^2}$$

Dove $\overline{z_1}$ è il coniugato di $z_1$ e $|z_1|^2$ è il quadrato del modulo di $z_1$, ossia $z_1 \cdot \overline{z_1}$.

Secondo me, questo metodo è più veloce del precedente ...ma bisogna ricordarsi la formula.

Ad esempio, se $z_1 = a + bi$, con $a, b \in \mathbb{R}$, allora il reciproco di $z_1$ è: $$z_2 = \frac{a - bi}{a^2 + b^2}$$

Un esempio pratico

Prendo come esempio il numero complesso z

$$z = 3+5i$$

Il numero reciproco di z è

$$\frac{1}{z} = \frac{1}{3+5i}$$

Calcolo il prodotto z·(1/z)

$$z \cdot \frac{1}{z} = (3+5i) \cdot \frac{1}{3+5i}$$

$$z \cdot \frac{1}{z} = \frac{3+5i}{3+5i}$$

E' una divisione tra numeri complessi.

Per calcolare il quoziente moltiplico il numeratore e il denominatore per il numero complesso coniugato del denominatore.

$$z \cdot \frac{1}{z} = \frac{3+5i}{3+5i} \cdot \frac{3-5i}{3-5i}$$

$$z \cdot \frac{1}{z} = \frac{(3+5i) \cdot (3-5i)}{(3+5i) \cdot (3-5i)}$$

$$z \cdot \frac{1}{z} = \frac{9-15i+15i-25i^2}{9-15i+15i-25i^2}$$

$$z \cdot \frac{1}{z} = \frac{9-25i^2}{9-25i^2}$$

Sapendo che il quadrato dell'unità immaginaria è i²=-1

$$z \cdot \frac{1}{z} = \frac{9-25 \cdot (-1)}{9-25 \cdot (-1)}$$

$$z \cdot \frac{1}{z} = \frac{9+25}{9+25}$$

Ora il numeratore e il denominatore sono due numeri reali.

$$z \cdot \frac{1}{z} = \frac{34}{34}$$

Essendo una divisione tra due numeri reali il quoziente è uguale a uno.

$$z \cdot \frac{1}{z} = 1$$

Nota. Per calcolare la divisione avrei potuto usare anche la formula $$\frac{a+bi}{c+di} = \frac{ac+bd}{c^2+d^2} + \frac{bc-ad}{c^2+d^2} i$$ dove a=3, b=5, c=3, d=5 $$\frac{3+5i}{3+5i} = \frac{3 \cdot 3+5 \cdot 5}{3^2+5^2} + \frac{5 \cdot 3-3 \cdot 5}{3^2+5^2} i$$ $$\frac{3+5i}{3+5i} = \frac{9+25}{9+25} + \frac{15-15}{3^2+5^2} i$$ $$\frac{3+5i}{3+5i} = \frac{34}{34} + \frac{0}{3^2+5^2} i$$ $$\frac{3+5i}{3+5i} = 1 + 0 \cdot i$$ $$\frac{3+5i}{3+5i} = 1$$ Il risultato è lo stesso ma, secondo me, la formula della divisione complessa è più difficile da ricordare. Per questa ragione, personalmente preferisco calcolare la divisione tra due numeri complessi moltiplicando e dividendo il rapporto per il coniugato del divisore.

Esempio 2

Devo trovare il reciproco del numero complesso $z_1 = 2 + 3i$.

Il reciproco $z_2$ di un numero complesso $z_1$ non nullo è dato dalla seguente formula:

$$z_2 = \frac{1}{z_1} = \frac{1}{2+3i}$$

Per eliminare il numero complesso dal denominatore, moltiplico numeratore e denominatore per il complesso coniugato di $z_1$. Il coniugato di $2 + 3i$ è $2 - 3i$. Quindi:

$$z_2 = \frac{1}{2 + 3i} = \frac{1 \cdot (2 - 3i)}{(2 + 3i)(2 - 3i)}$$

$$z_2 =  \frac{2 - 3i}{(2 + 3i)(2 - 3i)}$$

Moltiplico $(2 + 3i)$ per il suo coniugato $(2 - 3i)$. Il prodotto di un numero complesso con il suo coniugato è il modulo al quadrato:

$$z_2 =  \frac{2 - 3i}{2^2 + 3^2}$$

$$z_2 =  \frac{2 - 3i}{4 + 9}$$

$$z_2 =  \frac{2 - 3i}{13}$$

Quest'ultimo è un numero complesso perché posso scriverlo nella forma seguente:

$$z_2 = \frac{2}{13} - \frac{3}{13}i$$

Quindi il reciproco di $2 + 3i$ è:

$$z_2 = \frac{2 - 3i}{13}$$

Verifica. Moltiplico $z=1 = 2+3i$ per il suo reciproco $z_2 = \frac{2 - 3i}{13}$ $$z_1 \cdot z_2 = 2+3i \cdot \frac{2 - 3i}{13}$$ $$z_1 \cdot z_2 = \frac{(2+3i) \cdot (2-3i)}{13}$$ $$z_1 \cdot z_2 = \frac{4-6i+6i-9i^2}{13}$$ $$z_1 \cdot z_2 = \frac{4-9i^2}{13}$$ Sapendo che il quadrato dell'unità immaginaria è i²=-1. $$z_1 \cdot z_2 = \frac{4-9 \cdot (-1)}{13}$$ $$z_1 \cdot z_2 = \frac{4+9}{13}$$ $$z_1 \cdot z_2 = \frac{13}{13}$$ $$z_1 \cdot z_2 = 1$$ Il prodotto $z_1 \cdot z_2$ è uguale a 1 ossia all'elemento neutro della moltiplicazione. Questo conferma che il numero  complesso $z_2$ è il reciproco di $z_1$.

Esempio 3 (metodo alternativo e più veloce)

Provo a calcolare il reciproco del numero complesso $z_1 = 2 + 3i$ seguendo un procedimento alternativo.

Utilizzo la formula seguente:

$$z_2 = \frac{1}{z_1} = \frac{\overline{z_1}}{|z_1|^2}$$

Il coniugato di $z_1$ è il numero complesso $\overline{z_1} =2- 3i$

$$z_2 = \frac{2-3i}{ |z_1|^2}$$

Il quadrato del modulo di $z_1$ è il numero reale $|z_1|^2 = ( \sqrt{2^2+(-3)^2} )^2 = 4+9 = 13$

$$z_2 = \frac{2-3i}{13}$$

In questo modo, ho trovato il numero complesso reciproco di $z_1$ in modo più rapido rispetto all'esempio precedente.

La dimostrazione

Considero un numero complesso z e il suo reciproco 1/z

$$z=a+bi$$

$$\frac{1}{z}=\frac{1}{a+bi}$$

Calcolo il prodotto tra il numero complesso z e il reciproco 1/z

$$z \cdot \frac{1}{z} = (a+bi) \cdot \frac{1}{a+bi}$$

$$z \cdot \frac{1}{z} = \frac{a+bi}{a+bi}$$

Per calcolare la divisione tra i due numeri complessi moltiplico il numeratore e il denominatore per il coniugato del denominatore (a-bi).

$$z \cdot \frac{1}{z} = \frac{a+bi}{a+bi} \cdot \frac{a-bi}{a-bi}$$

$$z \cdot \frac{1}{z} = \frac{(a+bi) \cdot (a-bi)}{(a+bi) \cdot (a-bi)}$$

$$z \cdot \frac{1}{z} = \frac{a^2-abi+abi-b^2i^2}{a^2-abi+abi-b^2i^2}$$

$$z \cdot \frac{1}{z} = \frac{a^2-b^2i^2}{a^2-b^2i^2}$$

Sapendo che il quadrato dell'unità immaginaria è i²=-1

$$z \cdot \frac{1}{z} = \frac{a^2-b^2 \cdot (-1)}{a^2-b^2 \cdot (-1)}$$

$$z \cdot \frac{1}{z} = \frac{a^2+b^2}{a^2+b^2}$$

Ora il rapporto è tra due numeri reali identici, quindi il quoziente è uguale a 1.

$$z \cdot \frac{1}{z} = 1$$

Le proprietà dei reciproci complessi

Alcune proprietà utili dei reciproci dei numeri complessi

• Il reciproco di z=a+bi è uguale al rapporto (a-bi)/(a²+b²) $$\frac{1}{z} = \frac{a-bi}{a^2+b^2}$$

  Dimostrazione. Considero il reciproco di un numero complesso generico $$\frac{1}{z}=\frac{1}{a+bi}$$ Moltiplico e divido il reciproco per il coniugato z'=a-bi. $$\frac{1}{z} =\frac{1}{a+bi} \cdot \frac{a-bi}{a-bi}$$ Poi svolgo i calcoli algebrici $$\frac{1}{z} = \frac{a-bi}{(a+bi) \cdot (a-bi)}$$ $$\frac{1}{z} = \frac{a-bi}{a^2-abi+abi-b^2}$$ $$\frac{1}{z} = \frac{a-bi}{a^2-b^2}$$ Sapendo che i²=-1 $$\frac{1}{z} = \frac{a-bi}{a^2-b^2 \cdot (-1)}$$ $$\frac{1}{z} = \frac{a-bi}{a^2+b^2}$$ Verifica. Per verificare che si tratti effettivamente dello stesso numero, moltiplico il reciproco per il numero complesso a+bi $$z \cdot \frac{1}{z} = a+bi \cdot \frac{a-bi}{a^2+b^2}$$ $$z \cdot \frac{1}{z} =\frac{(a+bi) \cdot (a-bi)}{a^2+b^2}$$ $$z \cdot \frac{1}{z} = \frac{a^2-abi+abi-b^2i^2}{a^2+b^2}$$ $$z \cdot \frac{1}{z} = \frac{a^2-b^2i^2}{a^2+b^2}$$ Sapendo che i²=-1 $$z \cdot \frac{1}{z} = \frac{a^2-b^2 \cdot (-1)}{a^2+b^2}$$ $$z \cdot \frac{1}{z} = \frac{a^2+b^2}{a^2+b^2}$$ Ora il rapporto è tra due numeri reali, quindi il quoziente è uno. $$z \cdot \frac{1}{z} = \frac{a^2+b^2}{a^2+b^2} = 1$$

Il reciproco di un numero complesso in forma trigonometrica

Il reciproco di un numero complesso z=r(cos α +i sin α) in forma trigonometrica è $$\frac{1}{z} = \frac{1}{r} \cdot (\cos \alpha - i \cdot \sin \alpha)$$ o più in generale $$z^{-n} = \frac{1}{r^n} \cdot (\cos n \cdot \alpha - i \cdot \sin n \cdot \alpha)$$

Il calcolo del reciproco è più agevole se il numero complesso è in forma trigonometrica

Un esempio pratico

Prendo come esempio il numero complesso z

$$z = 3+5i$$

Lo trasforma in forma trigonometrica

$$z = \sqrt{3^2+5^2} \cdot [ \cos ( \arctan \frac{5}{3} ) + i \cdot \sin ( \arctan \frac{5}{3} ) ]$$

$$z = \sqrt{34} \cdot [ \cos ( 59.04° ) + i \cdot \sin ( 59.04° ) ]$$

Applico la regola precedente e ottengo il reciproco

$$\frac{1}{z} = \frac{1}{\sqrt{34}} \cdot [ \cos(59.04°) - i \cdot \sin(59.04°)]$$

Ora trasformo il risultato in forma algebrica sapendo che

$$x = \frac{1}{\sqrt{34}} \cdot \cos (59.04°) = 0.09$$

$$y = \frac{1}{\sqrt{34}} \cdot [ - \sin (59.04°) ] = -0.15$$

Quindi il reciproco in forma algebrica è

$$\frac{1}{z} = 0.09 - 0.15 i$$

E così via.