Il reciproco di un numero complesso
Il reciproco di un numero complesso z=a+bi è un numero complesso 1/z $$ \frac{1}{z} = \frac{1}{a+bi} $$ tale che il prodotto z·1/z è uguale 1. $$ z \cdot \frac{1}{z} = 1 $$ Dove 1 è l'elemento neutro della moltiplicazione. In generale, il reciproco di un numero complesso si ottiene nel seguente modo: $$ z^{-n} = \frac{1}{z^n} $$
Per trovare il reciproco di un numero complesso $ z_1 $ posso svolgere i vari passaggi algebrici a partire da $ \frac{1}{z_1} $.
Ad esempio, per svolgere la divisione $ \frac{1}{z_1} $, moltiplico e divido per il coniugato $ \bar{z_1} $
$$ z_2 = \frac{1}{ z_1 } \cdot \frac{ \bar{z_1} }{ \bar{z_1} } $$
Il risultato finale è il numero complesso $ z_2 $ ossia il reciproco di $ z_1 $
$$ z_1 \cdot z_2 = 1 $$
Metodo alternativo
Quando un numero complesso è diverso da zero \( z_1 \neq 0 \), il reciproco di \( z_1 \) posso trovarlo anche usando la formula seguente:
$$ z_2 = \frac{1}{z_1} = \frac{\overline{z_1}}{|z_1|^2} $$
Dove \( \overline{z_1} \) è il coniugato di \( z_1 \) e \( |z_1|^2 \) è il quadrato del modulo di \( z_1 \), ossia \( z_1 \cdot \overline{z_1} \).
Secondo me, questo metodo è più veloce del precedente ...ma bisogna ricordarsi la formula.
Ad esempio, se \( z_1 = a + bi \), con \( a, b \in \mathbb{R} \), allora il reciproco di \( z_1 \) è:$$ z_2 = \frac{a - bi}{a^2 + b^2} $$
Un esempio pratico
Prendo come esempio il numero complesso z
$$ z = 3+5i $$
Il numero reciproco di z è
$$ \frac{1}{z} = \frac{1}{3+5i} $$
Calcolo il prodotto z·(1/z)
$$ z \cdot \frac{1}{z} = (3+5i) \cdot \frac{1}{3+5i} $$
$$ z \cdot \frac{1}{z} = \frac{3+5i}{3+5i} $$
E' una divisione tra numeri complessi.
Per calcolare il quoziente moltiplico il numeratore e il denominatore per il numero complesso coniugato del denominatore.
$$ z \cdot \frac{1}{z} = \frac{3+5i}{3+5i} \cdot \frac{3-5i}{3-5i} $$
$$ z \cdot \frac{1}{z} = \frac{(3+5i) \cdot (3-5i)}{(3+5i) \cdot (3-5i)} $$
$$ z \cdot \frac{1}{z} = \frac{9-15i+15i-25i^2}{9-15i+15i-25i^2} $$
$$ z \cdot \frac{1}{z} = \frac{9-25i^2}{9-25i^2} $$
Sapendo che il quadrato dell'unità immaginaria è i2=-1
$$ z \cdot \frac{1}{z} = \frac{9-25 \cdot (-1)}{9-25 \cdot (-1)} $$
$$ z \cdot \frac{1}{z} = \frac{9+25}{9+25} $$
Ora il numeratore e il denominatore sono due numeri reali.
$$ z \cdot \frac{1}{z} = \frac{34}{34} $$
Essendo una divisione tra due numeri reali il quoziente è uguale a uno.
$$ z \cdot \frac{1}{z} = 1 $$
Nota. Per calcolare la divisione avrei potuto usare anche la formula $$ \frac{a+bi}{c+di} = \frac{ac+bd}{c^2+d^2} + \frac{bc-ad}{c^2+d^2} i $$ dove a=3, b=5, c=3, d=5 $$ \frac{3+5i}{3+5i} = \frac{3 \cdot 3+5 \cdot 5}{3^2+5^2} + \frac{5 \cdot 3-3 \cdot 5}{3^2+5^2} i $$ $$ \frac{3+5i}{3+5i} = \frac{9+25}{9+25} + \frac{15-15}{3^2+5^2} i $$ $$ \frac{3+5i}{3+5i} = \frac{34}{34} + \frac{0}{3^2+5^2} i $$ $$ \frac{3+5i}{3+5i} = 1 + 0 \cdot i $$ $$ \frac{3+5i}{3+5i} = 1 $$ Il risultato è lo stesso ma, secondo me, la formula della divisione complessa è più difficile da ricordare. Per questa ragione, personalmente preferisco calcolare la divisione tra due numeri complessi moltiplicando e dividendo il rapporto per il coniugato del divisore.
Esempio 2
Devo trovare il reciproco del numero complesso \( z_1 = 2 + 3i \).
Il reciproco \( z_2 \) di un numero complesso \( z_1 \) non nullo è dato dalla seguente formula:
$$ z_2 = \frac{1}{z_1} = \frac{1}{2+3i} $$
Per eliminare il numero complesso dal denominatore, moltiplico numeratore e denominatore per il complesso coniugato di \( z_1 \). Il coniugato di \( 2 + 3i \) è \( 2 - 3i \). Quindi:
$$ z_2 = \frac{1}{2 + 3i} = \frac{1 \cdot (2 - 3i)}{(2 + 3i)(2 - 3i)} $$
$$ z_2 = \frac{2 - 3i}{(2 + 3i)(2 - 3i)} $$
Moltiplico \( (2 + 3i) \) per il suo coniugato \( (2 - 3i) \). Il prodotto di un numero complesso con il suo coniugato è il modulo al quadrato:
$$ z_2 = \frac{2 - 3i}{2^2 + 3^2} $$
$$ z_2 = \frac{2 - 3i}{4 + 9} $$
$$ z_2 = \frac{2 - 3i}{13} $$
Quest'ultimo è un numero complesso perché posso scriverlo nella forma seguente:
$$ z_2 = \frac{2}{13} - \frac{3}{13}i $$
Quindi il reciproco di \( 2 + 3i \) è:
$$ z_2 = \frac{2 - 3i}{13} $$
Verifica. Moltiplico $ z=1 = 2+3i $ per il suo reciproco $ z_2 = \frac{2 - 3i}{13} $ $$ z_1 \cdot z_2 = 2+3i \cdot \frac{2 - 3i}{13} $$ $$ z_1 \cdot z_2 = \frac{(2+3i) \cdot (2-3i)}{13} $$ $$ z_1 \cdot z_2 = \frac{4-6i+6i-9i^2}{13} $$$$ z_1 \cdot z_2 = \frac{4-9i^2}{13} $$ Sapendo che il quadrato dell'unità immaginaria è i2=-1. $$ z_1 \cdot z_2 = \frac{4-9 \cdot (-1)}{13} $$ $$ z_1 \cdot z_2 = \frac{4+9}{13} $$ $$ z_1 \cdot z_2 = \frac{13}{13} $$ $$ z_1 \cdot z_2 = 1 $$ Il prodotto $ z_1 \cdot z_2 $ è uguale a 1 ossia all'elemento neutro della moltiplicazione. Questo conferma che il numero complesso $ z_2 $ è il reciproco di $ z_1 $.
Esempio 3 (metodo alternativo e più veloce)
Provo a calcolare il reciproco del numero complesso \( z_1 = 2 + 3i \) seguendo un procedimento alternativo.
Utilizzo la formula seguente:
$$ z_2 = \frac{1}{z_1} = \frac{\overline{z_1}}{|z_1|^2} $$
Il coniugato di $ z_1 $ è il numero complesso $ \overline{z_1} =2- 3i $
$$ z_2 = \frac{2-3i}{ |z_1|^2} $$
Il quadrato del modulo di $ z_1 $ è il numero reale $ |z_1|^2 = ( \sqrt{2^2+(-3)^2} )^2 = 4+9 = 13 $
$$ z_2 = \frac{2-3i}{13} $$
In questo modo, ho trovato il numero complesso reciproco di $ z_1 $ in modo più rapido rispetto all'esempio precedente.
La dimostrazione
Considero un numero complesso z e il suo reciproco 1/z
$$ z=a+bi $$
$$ \frac{1}{z}=\frac{1}{a+bi} $$
Calcolo il prodotto tra il numero complesso z e il reciproco 1/z
$$ z \cdot \frac{1}{z} = (a+bi) \cdot \frac{1}{a+bi} $$
$$ z \cdot \frac{1}{z} = \frac{a+bi}{a+bi} $$
Per calcolare la divisione tra i due numeri complessi moltiplico il numeratore e il denominatore per il coniugato del denominatore (a-bi).
$$ z \cdot \frac{1}{z} = \frac{a+bi}{a+bi} \cdot \frac{a-bi}{a-bi} $$
$$ z \cdot \frac{1}{z} = \frac{(a+bi) \cdot (a-bi)}{(a+bi) \cdot (a-bi)} $$
$$ z \cdot \frac{1}{z} = \frac{a^2-abi+abi-b^2i^2}{a^2-abi+abi-b^2i^2} $$
$$ z \cdot \frac{1}{z} = \frac{a^2-b^2i^2}{a^2-b^2i^2} $$
Sapendo che il quadrato dell'unità immaginaria è i2=-1
$$ z \cdot \frac{1}{z} = \frac{a^2-b^2 \cdot (-1)}{a^2-b^2 \cdot (-1)} $$
$$ z \cdot \frac{1}{z} = \frac{a^2+b^2}{a^2+b^2} $$
Ora il rapporto è tra due numeri reali identici, quindi il quoziente è uguale a 1.
$$ z \cdot \frac{1}{z} = 1 $$
Le proprietà dei reciproci complessi
Alcune proprietà utili dei reciproci dei numeri complessi
- Il reciproco di z=a+bi è uguale al rapporto (a-bi)/(a2+b2) $$ \frac{1}{z} = \frac{a-bi}{a^2+b^2} $$
Dimostrazione. Considero il reciproco di un numero complesso generico $$ \frac{1}{z}=\frac{1}{a+bi} $$ Moltiplico e divido il reciproco per il coniugato z'=a-bi. $$ \frac{1}{z} =\frac{1}{a+bi} \cdot \frac{a-bi}{a-bi} $$ Poi svolgo i calcoli algebrici $$ \frac{1}{z} = \frac{a-bi}{(a+bi) \cdot (a-bi)} $$ $$ \frac{1}{z} = \frac{a-bi}{a^2-abi+abi-b^2} $$ $$ \frac{1}{z} = \frac{a-bi}{a^2-b^2} $$ Sapendo che i2=-1 $$ \frac{1}{z} = \frac{a-bi}{a^2-b^2 \cdot (-1)} $$ $$ \frac{1}{z} = \frac{a-bi}{a^2+b^2} $$ Verifica. Per verificare che si tratti effettivamente dello stesso numero, moltiplico il reciproco per il numero complesso a+bi $$ z \cdot \frac{1}{z} = a+bi \cdot \frac{a-bi}{a^2+b^2} $$ $$ z \cdot \frac{1}{z} =\frac{(a+bi) \cdot (a-bi)}{a^2+b^2} $$ $$ z \cdot \frac{1}{z} = \frac{a^2-abi+abi-b^2i^2}{a^2+b^2} $$ $$ z \cdot \frac{1}{z} = \frac{a^2-b^2i^2}{a^2+b^2} $$ Sapendo che i2=-1 $$ z \cdot \frac{1}{z} = \frac{a^2-b^2 \cdot (-1)}{a^2+b^2} $$ $$ z \cdot \frac{1}{z} = \frac{a^2+b^2}{a^2+b^2} $$ Ora il rapporto è tra due numeri reali, quindi il quoziente è uno. $$ z \cdot \frac{1}{z} = \frac{a^2+b^2}{a^2+b^2} = 1 $$
Il reciproco di un numero complesso in forma trigonometrica
Il reciproco di un numero complesso z=r(cos α +i sin α) in forma trigonometrica è $$ \frac{1}{z} = \frac{1}{r} \cdot (\cos \alpha - i \cdot \sin \alpha) $$ o più in generale $$ z^{-n} = \frac{1}{r^n} \cdot (\cos n \cdot \alpha - i \cdot \sin n \cdot \alpha) $$
Il calcolo del reciproco è più agevole se il numero complesso è in forma trigonometrica
Un esempio pratico
Prendo come esempio il numero complesso z
$$ z = 3+5i $$
Lo trasforma in forma trigonometrica
$$ z = \sqrt{3^2+5^2} \cdot [ \cos ( \arctan \frac{5}{3} ) + i \cdot \sin ( \arctan \frac{5}{3} ) ] $$
$$ z = \sqrt{34} \cdot [ \cos ( 59.04° ) + i \cdot \sin ( 59.04° ) ] $$
Applico la regola precedente e ottengo il reciproco
$$ \frac{1}{z} = \frac{1}{\sqrt{34}} \cdot [ \cos(59.04°) - i \cdot \sin(59.04°)] $$
Ora trasformo il risultato in forma algebrica sapendo che
$$ x = \frac{1}{\sqrt{34}} \cdot \cos (59.04°) = 0.09 $$
$$ y = \frac{1}{\sqrt{34}} \cdot [ - \sin (59.04°) ] = -0.15 $$
Quindi il reciproco in forma algebrica è
$$ \frac{1}{z} = 0.09 - 0.15 i $$
E così via.
