Il piano di Gauss

Il piano di Gauss (o piano complesso) è un sistema di assi cartesiani Oxy usato per rappresentare i numeri complessi. L'asse x è detto asse reale (Re) mentre l'asse y è detto asse immaginario (Im).
il piano di Gauss o piano complesso
Il simbolo i è l'unità immaginaria alle coordinate (0,1).

Ogni numero complesso è una coppia ordinata (a,b) di numeri reali.

$$ z=(a,b) $$

Pertanto, c'è una corrispondenza biunivoca tra i numeri complessi e i punti del piano cartesiano (x,y).

Ogni numero complesso è un punto del piano e viceversa.

la relazione tra numeri complessi e punti del piano

In questo caso sull'asse delle ascisse misuro i numeri reali mentre sulle ordinate i numeri immaginari.

Questo mi permette di usare il piano cartesiano per rappresentare geometricamente i numeri complessi, perché ogni punto del piano è composto da una parte reale e una parte immaginaria.

Questo tipo di diagramma è detto piano complesso o piano di Gauss.

Sapendo che esiste una corrispondenza biunivoca tra i punti del piano e i vettori, si può anche affermare che ogni numero complesso è un vettore v con componenti (a,b). E viceversa.

un numero complesso è rappresentabile geometricamente con un vettore

In altre parole, ogni numero complesso $ a+bi $ è associato a uno e un solo vettore $ \vec{v} $ in $ \mathbb{R^2} $ e viceversa.

$$ a + bi  \Longleftrightarrow \vec{v} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} $$

Quest'ultima considerazione è alla base della rappresentazione polare dei numeri complessi.

la rappresentazione polare dei numeri complessi

Nel sistema di coordinate polari ogni numero complesso $ z=a+bi $ è associato a una coppia di valori (r;α):

  • Il modulo (r) che indica la lunghezza del vettore $ \vec{v} $ tra l'origine O del piano di Gauss (detta "polo") e il punto P(a;b)
  • L'argomento (α) che indica l'ampiezza dell'angolo tra il vettore e il semiasse positivo del piano di Gauss (detto asse polare) misurata in senso antiorario.

Nota. Nel sistema di coordinate polari l'origine O del piano di Gauss, ossia il polo, ha le coordinate (0;α) con una qualsiasi ampiezza dell'angolo α. Inoltre, poiché l'ampiezza dell'angolo α è equivalente a infinite ampiezze equivalenti del tipo $ α+2kπ $ che si ottengono sommando k vole l'angolo giro ($ 2π=360° $), si considera come argomento principale soltanto l'ampiezza dell'angolo compresa tra $ 0≤α<2π $

    Un esempio pratico

    Considero il numero complesso z=2+3i

    $$ z=2+3i $$

    La parte reale del numero complesso è 2 mentre il coefficiente della parte immaginaria è 3.

    Pertanto, il numero complesso corrisponde alle coordinate (2,3) sul piano di Gauss.

    esempio pratico di numero complesso

    Tra il punto (2,3) e il numero complesso z=2+3i c'è una corrispondenza biunivoca.

    Dimostrazione. Il punto (2,3) posso riscriverlo come somma di un numero reale (2,0) e di un numero immaginario (0,3) $$ (2,3) = (2,0)+(0,3) $$ Sapendo che ogni numero immaginario è il prodotto dell'unità immaginaria per un numero reale, posso riscrivere (0,3)=(0,1)·(3,0) $$ (2,3) = (2,0)+[(0,1) \cdot (3,0)] $$ Indico l'unità immaginaria con il simbolo i=(0,1) $$ (2,3) = (2,0)+[i \cdot (3,0)] $$ Sia (2,0) che (3,0) sono numeri reali (2,0)=2 e (3,0)=3. $$ (2,3) = 2+3i $$ Il risultato finale è il numero complesso z=2+3i in forma algebrica.

    E così via.

     

     


     

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