Il quadrato di un numero complesso
Per calcolare il quadrato di un numero complesso z=(a,b)2 posso usare questa formula $$ (a,b)^2 = (a^2-b^2,2ab) $$ In alternativa, se il numero è scritto in forma algebrica z=a+bi calcolo il quadrato del binomio (a+bi)2 ricordandomi che il quadrato dell'unità immaginaria è i2=-1. $$ z^2 = (a+bi)^2 $$ $$ z^2= a^2+2abi+(bi)^2 $$ $$ z^2= a^2+2abi-b^2 $$ Il risultato è lo stesso.
Un esempio pratico
Ho il numero complesso z=(2,3)
$$ z = (2,3) $$
Metodo 1
Calcolo il quadrato del numero complesso
$$ z^2 = (a,b)^2 = (a^2-b^2,2ab) $$
In questo caso a=2 e b=3
$$ (2,3)^2 = (2^2-3^2,2 \cdot 2 \cdot 3) $$
$$ (2,3)^2 = (4-9,12) $$
$$ (2,3)^2 = (-5,12) $$
Il quadrato del numero complesso è (-5,12).
$$ z^2 = (-5,12) $$
In forma algebrica si scrive
$$ z^2 = -5 + 12 i $$
Metodo 2
Trasformo il numero complesso z=(2,3) in forma algebrica z=2+3i
$$ z = (2,3) = 2+3i $$
Elevo il numero complesso al quadrato e svolgo i calcoli del quadrato del binomio (a+b)2=a2+2ab+b2
$$ z^2 = (2+3i)^2 $$
$$ z^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot 3i + (3i)^2 $$
$$ z^2 = 4 + 12i + 3^2i^2 $$
$$ z^2 = 4 + 12i + 9i^2 $$
Sapendo che il quadrato dell'unità immaginaria è i2=-1
$$ z^2 = 4 + 12i + 9 \cdot (-1) $$
$$ z^2 = 4 + 12i - 9 $$
$$ z^2 = -5 + 12i $$
Il risultato finale è sempre lo stesso.
La dimostrazione
Per dimostrare la formula
$$ (a,b)^2 = (a^2-b^2,2ab) $$
considero il quadrato del numero complesso (a,b) come una moltiplicazione del numero per se stesso
$$ (a,b)^2 = (a,b) \cdot (a,b) $$
Applico la regola della moltiplicazione tra due numeri complessi
$$ (a,b)^2 = (a,b) \cdot (a,b) $$
$$ (a,b)^2 = (a \cdot a - b \cdot b, a \cdot b + b \cdot a) $$
$$ (a,b)^2 = (a^2 - b^2, ab + ab) $$
$$ (a,b)^2 = (a^2 - b^2, 2ab) $$
Il risultato finale è la formula del quadrato di un numero complesso.
Dimostrazione alternativa. Avrei potuto dimostrare la formula del quadrato di un numero complesso anche trasformando il numero complesso in forma algebrica $$ (a,b)^2 = (a+bi)^2 $$ e applicare la regola algebrica del quadrato del binomio $$ (a,b)^2 = a^2+2a(bi)+(bi)^2 $$ $$ (a,b)^2 = a^2+2abi+b^2i^2 $$ Sapendo che i2=-1 $$ (a,b)^2 = a^2+2abi+b^2 \cdot (-1) $$ $$ (a,b)^2 = a^2+2abi-b^2 $$ Il risultato finale è la formula del quadrato di un numero complesso.
Il quadrato di un numero complesso reale
Il quadrato di un numero complesso reale (a,0) è uguale al quadrato della parte reale (a2,0) del numero complesso. $$ (a,0)^2 = (a^2,0) $$
Pertanto, il quadrato di un numero complesso reale è sempre un numero reale positivo (a2).
La dimostrazione
Calcolo il quadrato come prodotto del numero complesso reale per se stesso.
$$ (a,0)^2 = (a,0) \cdot (a,0) $$
$$ (a,0)^2 = (a \cdot a - 0 \cdot 0, a \cdot 0 + 0 \cdot a ) $$
$$ (a,0)^2 = (a^2,0) $$
Pertanto, il risultato è uguale al quadrato di un numero reale a2.
Esempio
Calcolo il quadrato del numero reale complesso (2,0) tramite la formula (a,0)2=(a2,0)
$$ (2,0)^2 = (2^2,0)$$
$$ (2,0)^2 = (4,0) $$
Il quadrato del numero complesso reale (2,0)2 è il numero complesso reale (4,0).
Verifica. Verifico il risultato calcolando il prodotto del numero complesso (2,0) per se stesso. $$ (2,0)^2 = (2,0) \cdot (2,0) $$ $$ (2,0)^2 = (2 \cdot 2 - 0 \cdot 0,2 \cdot 0 + 0 \cdot 2) $$ $$ (2,0)^2 = (4 - 0,0 + 0) $$ $$ (2,0)^2 = (4,0) $$ Il risultato è lo stesso.
Il quadrato di un numero immaginario
Il quadrato di un numero immaginario (0,b) è uguale a (-b2,0). $$ (0,b)^2 = (-b^2,0) $$
In pratica, il quadrato di un numero immaginario "puro" è un numero reale -b2 negativo.
La dimostrazione
Calcolo il quadrato come prodotto del numero immaginario per se stesso.
$$ (0,b)^2 = (0,b) \cdot (0,b) $$
$$ (0,b)^2 = (0 \cdot 0 - b \cdot b, 0 \cdot b + b \cdot 0) $$
$$ (0,b)^2 = (0 - b^2, 0 + 0) $$
$$ (0,b)^2 = (- b^2, 0) $$
Il risultato finale è la formula che volevo dimostrare.
Esempio
Calcolo il quadrato del numero immaginario (0,2) tramite la formula (0,b)2=(-b2,0)
$$ (0,2)^2 = (-2^2,0)$$
$$ (0,2)^2 = (-4,0) $$
Il quadrato del numero immaginario (0,2)2 è il numero complesso reale (-4,0).
Verifica. Verifico il risultato calcolando il prodotto del numero (0,2) per se stesso. $$ (0,2)^2 = (0,2) \cdot (0,2) $$ $$ (0,2)^2 = (0 \cdot 0 - 2 \cdot 2,0 \cdot 2 + 2 \cdot 0) $$ $$ (0,2)^2 = (0 - 4,0 + 0) $$ $$ (0,2)^2 = (-4,0) $$ Il risultato è lo stesso.
La radice quadrata di un numero negativo
Il quadrato dei numeri immaginari mi permette anche di capire come svolgere la radice quadrata di un numero reale negativo tramite i numeri complessi.
Esempio
Provo a risolvere la radice quadrata del numero reale negativo -4
$$ x = \sqrt{-4} $$
Questa operazione è impossibile con i numeri reali ma è risolvibile con i numeri complessi.
Riscrivo il radicando in questa forma equivalente
$$ x = \sqrt{-1 \cdot 4} $$
Sapendo che meno uno è il quadrato dell'unità immaginaria i2 = -1
$$ x = \sqrt{i^2 \cdot 4} $$
$$ x = i \cdot \sqrt{4} $$
Ora il radicando è un numero reale positivo, quindi posso calcolare la radice quadrata √4=±2.
$$ x = i \cdot \sqrt{4} $$
$$ x= i \cdot (\pm 2) $$
$$ x= \pm 2i $$
Pertanto, le soluzioni della radice quadrata di -4 sono i numeri complessi 0+2i e 0-2i ossia i numeri immaginari (0,2) e (0,-2).
$$ x = \sqrt{-4} = 0 \pm 2i $$
E così via
