La forma algebrica dei numeri complessi
Un numero complesso (a,b) può essere scritto anche in forma algebrica come somma di un numero reale (a) e di un numero immaginario (bi) $$ (a,b) = a + b \cdot i $$
Dove i è l'unità immaginaria i=(0,1) mentre a,b sono due numeri reali.
La forma algebrica è anche detta forma compatta dei numeri complessi.
Nota. La forma algebrica è soltanto una delle rappresentazioni possibili di un numero complesso. Altre rappresentazioni sono la forma trigonometrica e la forma esponenziale.
Un esempio pratico
Prendo in considerazione il numero complesso (2,3)
$$ (a,b) = (2,3) $$
La parte reale del numero complesso è a=2 mentre la parte immaginaria è b=3.
La forma algebrica del numero complesso (2,3) è
$$ (2,3) = 2 + 3i $$
Sul piano di Gauss è lo stesso punto.
Quindi, se scrivo (2,3) o 2+3i indico lo stesso numero complesso.
Sono soltanto due modi diversi per rappresentare lo stesso numero.
Nota. Ogni punto (x,y) del piano di Gauss è un numero complesso e viceversa. Il numero complesso alle coordinate (2,3) posso scriverlo in forma algebrica 2+3i.
La dimostrazione
Qualsiasi numero complesso (a,b) posso vederlo come somma di un numero complesso reale (a,0) e di un numero immaginario (0,b)
$$ (a,b) = (a,0) + (0,b) $$
A sua volta il numero immaginario posso scriverlo come il prodotto del numero reale (b,0) per l'unità immaginaria (0,1) ossia (0,b)=(b,0)·(0,1)
$$ (a,b) = (a,0) + [ (b,0) \cdot (0,1) ] $$
Il simbolo dell'unità immaginaria è i=(0,1)
$$ (a,b) = (a,0) + [ (b,0) \cdot i ] $$
Il numero (b,0) è un numero reale b=(b,0) perché la parte immaginaria è nulla.
$$ (a,b) = (a,0) + [ b \cdot i ] $$
Anche il numero (a,0) è un numero reale a=(a,0)
$$ (a,b) = a + [ b \cdot i ] $$
Il risultato finale è la forma algebrica a+b·i del numero complesso (a,b)
$$ (a,b) = a + b \cdot i $$
Il termine a è la parte reale del numero complesso (a,b) mentre il termine b·i è la parte immaginaria.
Il termine b è un numero reale detto coefficiente della parte immaginaria.
Nota. Qualsiasi numero reale può essere scritto in forma algebrica ponendo b=0. $$ a + 0 \cdot i $$ Allo stesso modo, ogni numero immaginario può essere scritto in forma algebrica ponendo a=0. $$ 0 + b \cdot i $$ Da questo deduco che i numeri reali e i numeri immaginari sono sottoinsiemi propri dei numeri complessi.
L'insieme dei numeri reali e l'insieme dei numeri immaginari hanno in comune soltanto il numero complesso (0,0) ossia l'origine del piano di Gauss che può essere considerato sia un numero reale che un numero immaginario.
I numeri reali corrispondono ai punti dell'asse dell'ascissa mentre i numeri immaginari ai punti dell'asse delle ordinate. In generale, ogni punto del piano (x,y) è un numero complesso. Quindi, l'insieme dei numeri complessi è molto più grande dell'unione dei numeri reali e dei numeri immaginari.
E così via.
