Il cubo di un numero complesso
Per calcolare il cubo di un numero complesso $$ z^3=(a+bi)^3 $$ applico la regola algebrica del cubo di un binomio $$ z^3=a^3+3a^2(bi)+3a(bi)^2+(bi)^3 $$ ricordandomi che il quadrato dell'unità immaginaria è i2=-1.
Un esempio pratico
Considero il numero complesso z=4+3i
$$ z=4+3i $$
Il cubo del numero complesso z3 è
$$ z^3 = (2+3i)^3 $$
Applico la regola algebrica del cubo di un binomio (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
$$ z^3 = 2^3+3 \cdot 2^2 \cdot 3i + 3 \cdot 2 \cdot (3i)^2 + (3i)^3 $$
$$ z^3 = 8+3 \cdot 4 \cdot 3i + 6 \cdot ( 3^2 \cdot i^2 ) + (3^3 \cdot i^3 ) $$
$$ z^3 = 8+ 36i + 54 i^2 + 27i^3 $$
Sapendo che i2=-1
$$ z^3 = 8+ 36i + 54 \cdot (-1) + 27i^3 $$
$$ z^3 = 8+ 36i - 54 + 27i^3 $$
$$ z^3 = -46 + 36i + 27i^3 $$
Per la proprietà delle potenze i3=i2·i
$$ z^3 = -46 + 36i + 27 \cdot (i^2 \cdot i) $$
Sapendo che il quadrato dell'unità immaginaria è i2=-1
$$ z^3 = -46 + 36i + 27 \cdot (-1) \cdot i $$
$$ z^3 = -46 + 36i - 27i $$
$$ z^3 = -46 + 9i $$
Il cubo del numero complesso è z3=-46+9i
E così via.
