La sottrazione dei numeri complessi
La differenza tra due numeri complessi è un numero complesso che ha per parte reale la differenza delle parti reali e per parte immaginaria la differenza dei coefficienti delle parti immaginarie. $$ (a-bi)-(c-di) = (a-c)+(b-d)i $$
Un esempio
Prendo come esempio due numeri complessi z1 e z2
$$ z_1 = 5+6i $$
$$ z_2 = 2+4i $$
Calcolo la sottrazione z1-z2
$$ z_1 - z_2 = (5+6i)-(2+4i) $$
Sommo tra loro le parti reali e immaginarie dei due numeri complessi.
$$ z_1 - z_2 = 5+6i-2-4i) $$
$$ z_1 - z_2 = (5-2)+(6i-4i) $$
$$ z_1 - z_2 = 3+2i $$
La differenza tra i due numeri complessi z1-z2 è il numero complesso 3+2i.
Nota. Posso calcolare la differenza anche scrivendo i due numeri complessi come coordinate del piano di Gauss (x.y) o come vettori a due dimensioni. Ad esempio, i precedenti numeri complessi z1 e z2 sul piano hanno le seguenti coppie di coordinate (o vettori) $$ z_1 = 5+6i = (5,6) $$ $$ z_2 = 2+4i = (2,4) $$ Calcolo la differenza tra i due vettori $$ z_1 – z_2 = (5,6) – (2,4) $$ $$ z_1 – z_2 = (5-2,6-4) $$ $$ z_1 – z_2 = (3,2) $$ Il risultato è sempre lo stesso.
La dimostrazione
Considero due numeri complessi z1 e z2
$$ z_1 = a+bi $$
$$ z_2 = c+di $$
Calcolo la differenza tra i due numeri complessi.
$$ z_1-z_2 = (a+bi)-(c+di) $$
$$ z_1-z_2 = a+bi-c-di $$
Applico la proprietà associativa e la proprietà distributiva
$$ z_1-z_2 = (a-c)+(bi-di) $$
$$ z_1-z_2 = (a-c)+i(b-d) $$
Pertanto, la differenza z1-z2 è un numero complesso che ha per parte reale la differenza delle parti reali (a-c) e per parte immaginaria la differenza dei coefficienti delle parti immaginarie (b-d)i.
E così via.
