Potenza di un numero immaginario
La potenza di un numero immaginario è uguale al prodotto tra la potenza del coefficiente per la potenza dell'unità immaginaria (ai)n=an⋅in Dove la potenza dell'unità immaginaria si ripete periodicamente in modulo 4. i0=1i1=ii2=−1i3=−i Il ciclo ricomincia ogni quattro elementi.
La potenza n-esima dell'unità immaginaria è sempre riconducibile a quella con esponente tra zero e tre.
| i0=1i1=ii2=−1i3=−i | i4=1i5=ii6=−1i7=−i | i8=1i9=ii10=−1i11=−i |
Da questo deduco che
- Le potenze con esponente pari danno come risultato un numero reale.
- Le potenze con esponente dispari, invece, restituiscono un numero immaginario.
Come calcolare la potenza n-esima
In generale, la potenza dell'unità immaginaria con esponente maggiore di n>3 è uguale alla potenza con esponente uguale al resto della divisione tra n e 4.
in=i4k⋅ir
Sapendo che l'esponente multiplo di quattro è sempre pari a 1.
in=1⋅ir
in=ir
Dove r è il resto della divisione n:4
Esempio. L'unità immaginaria elevata alla potenza 14, i14, è uguale a i2 poiché 14÷4=3 con resto r=2. Infatti, posso scrivere: i14=i4⋅3+2 Poi, sfruttando le proprietà delle potenze, ottengo: i14=(i4)3⋅i2 Sapendo che i4=1, il calcolo diventa: i14=13⋅i2 Dato che 13=1. i14=i2 Ora, ricordando che i2=−1, posso concludere: i14=−1 Quindi, elevare i a una potenza qualsiasi si riduce a calcolare un esponente tra 0 e 3, sfruttando i cicli delle potenze dell'unità immaginaria.
Un esempio pratico
Devo calcolare il quadrato del numero immaginario 5i
z2=(5i)2
Secondo una proprietà delle potenze (a·b)n = an·bn
z2=52⋅i2
z2=25⋅i2
Sapendo che i2=-1
z2=25⋅(−1)
z2=−25
Esempio 2
Calcolo il cubo del numero immaginario 2i
z3=(2i)3
z3=23⋅i3
z3=8⋅i3
z3=8⋅i2⋅i
z3=8⋅(−1)⋅i
z3=−8i
Esempio 3
Devo calcolare la potenza del numero immaginario 5i elevato a 14
z14=(5i)14
z14=514⋅i14
La potenza n-esima dell'unità immaginaria è uguale al resto della divisione tra n e quattro.
La divisione 14:4=3 ha un resto pari a 2, quindi i14=i2
z14=514⋅i2
z14=514⋅(−1)
z14=−514
Nota. Tutte le potenze dei numeri immaginari sono riconducibili a una potenza con esponente tra 0 e 3. In questo caso, applicando le proprietà delle potenze i14 posso ricondurlo a i12 i14=i12⋅i2=(i4)3⋅i2=13⋅i2=i2.
La dimostrazione
Considero l'unità immaginaria
i=(0,1)
Qualsiasi potenza con esponente zero è uguale a uno
i0=(0,1)0=1
Qualsiasi potenza con esponente uno è il numero stesso.
i1=(0,1)1=(0,1)=i
Il quadrato dell'unità immaginaria è -1.
i2=(0,1)2=−1
Dimostrazione. Per calcolare il quadrato applico la regola del prodotto dei numeri complessi (0,1)2=(0,1)⋅(0,1)=(0⋅0−1⋅1,0⋅1+1⋅0)=(0−1,0+0)=(−1,0)=−1 Il risultato è il numero reale -1.
Il cubo dell'unità immaginaria è -i
i3=(0,1)3
Secondo una proprietà delle potenze i3 = i2·i
i3=i2⋅i
Sapendo che i2=-1
i3=(−1)⋅i
i3=−i
Con l'esponente quattro il ciclo ricomincia daccapo
i4=i2⋅i2
i4=(−1)⋅(−1)
i4=1
Nota. La potenza di un numero immaginario con esponente pari è sempre un numero reale. Viceversa, la potenza di un numero immaginario con esponente dispari è un altro numero immaginario.
E così via.
