Potenza di un numero immaginario
La potenza di un numero immaginario è uguale al prodotto tra la potenza del coefficiente per la potenza dell'unità immaginaria $$ (ai)^n = a^n \cdot i^n $$ Dove la potenza dell'unità immaginaria si ripete periodicamente in modulo 4. $$ i^0 = 1 \\ i^1 = i \\ i^2 =-1 \\ i^3 = -i $$ Il ciclo ricomincia ogni quattro elementi.
La potenza n-esima dell'unità immaginaria è sempre riconducibile a quella con esponente tra zero e tre.
| $$ i^0 = 1 \\ i^1 = i \\ i^2 =-1 \\ i^3 = -i $$ | $$ i^4 = 1 \\ i^5 = i \\ i^6 =-1 \\ i^7 = -i $$ | $$ i^8 = 1 \\ i^9 = i \\ i^{10} =-1 \\ i^{11} = -i $$ |
Da questo deduco che
- Le potenze con esponente pari danno come risultato un numero reale.
- Le potenze con esponente dispari, invece, restituiscono un numero immaginario.
Come calcolare la potenza n-esima
In generale, la potenza dell'unità immaginaria con esponente maggiore di n>3 è uguale alla potenza con esponente uguale al resto della divisione tra n e 4.
$$ i^n = i^{4k} \cdot i^r $$
Sapendo che l'esponente multiplo di quattro è sempre pari a 1.
$$ i^n = 1 \cdot i^r $$
$$ i^n = i^r $$
Dove r è il resto della divisione n:4
Esempio. L'unità immaginaria elevata alla potenza \( 14 \), \( i^{14} \), è uguale a \( i^2 \) poiché \( 14 \div 4 = 3 \) con resto \( r = 2 \). Infatti, posso scrivere: $$ i^{14} = i^{4 \cdot 3 + 2} $$ Poi, sfruttando le proprietà delle potenze, ottengo: $$ i^{14} = (i^4)^3 \cdot i^2 $$ Sapendo che \( i^4 = 1 \), il calcolo diventa: $$ i^{14} = 1^3 \cdot i^2 $$ Dato che \( 1^3 = 1 \). $$ i^{14} = i^2 $$ Ora, ricordando che \( i^2 = -1 \), posso concludere: $$ i^{14} = -1 $$ Quindi, elevare \( i \) a una potenza qualsiasi si riduce a calcolare un esponente tra \( 0 \) e \( 3 \), sfruttando i cicli delle potenze dell'unità immaginaria.
Un esempio pratico
Devo calcolare il quadrato del numero immaginario 5i
$$ z^2=(5i)^2 $$
Secondo una proprietà delle potenze (a·b)n = an·bn
$$ z^2=5^2 \cdot i^2 $$
$$ z^2=25 \cdot i^2 $$
Sapendo che i2=-1
$$ z^2=25 \cdot (-1) $$
$$ z^2=-25 $$
Esempio 2
Calcolo il cubo del numero immaginario 2i
$$ z^3 = (2i)^3 $$
$$ z^3 = 2^3 \cdot i^3 $$
$$ z^3 = 8 \cdot i^3 $$
$$ z^3 = 8 \cdot i^2 \cdot i $$
$$ z^3 = 8 \cdot (-1) \cdot i $$
$$ z^3 = -8i $$
Esempio 3
Devo calcolare la potenza del numero immaginario 5i elevato a 14
$$ z^{14} = (5i)^{14} $$
$$ z^{14} = 5^{14} \cdot i^{14} $$
La potenza n-esima dell'unità immaginaria è uguale al resto della divisione tra n e quattro.
La divisione 14:4=3 ha un resto pari a 2, quindi $ i^{14}=i^2 $
$$ z^{14} = 5^{14} \cdot i^{2} $$
$$ z^{14} = 5^{14} \cdot (-1) $$
$$ z^{14} = -5^{14} $$
Nota. Tutte le potenze dei numeri immaginari sono riconducibili a una potenza con esponente tra 0 e 3. In questo caso, applicando le proprietà delle potenze $ i^{14} $ posso ricondurlo a $ i^{12} $ $$ i^{14} = i^{12} \cdot i^2 = (i^4)^3 \cdot i^2 = 1^3 \cdot i^2 = i^2 $$.
La dimostrazione
Considero l'unità immaginaria
$$ i=(0,1) $$
Qualsiasi potenza con esponente zero è uguale a uno
$$ i^0=(0,1)^0 = 1 $$
Qualsiasi potenza con esponente uno è il numero stesso.
$$ i^1=(0,1)^1 = (0,1) = i $$
Il quadrato dell'unità immaginaria è -1.
$$ i^2 = (0,1)^2 = -1 $$
Dimostrazione. Per calcolare il quadrato applico la regola del prodotto dei numeri complessi $$ (0,1)^2 = (0,1) \cdot (0,1) = (0 \cdot 0-1 \cdot 1, 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 ) = (0-1,0+0)=(-1,0)=-1 $$ Il risultato è il numero reale -1.
Il cubo dell'unità immaginaria è -i
$$ i^3 = (0,1)^3 $$
Secondo una proprietà delle potenze i3 = i2·i
$$ i^3 = i^2 \cdot i $$
Sapendo che i2=-1
$$ i^3 = (-1) \cdot i $$
$$ i^3= -i $$
Con l'esponente quattro il ciclo ricomincia daccapo
$$ i^4 = i^2 \cdot i^2 $$
$$ i^4 = (-1) \cdot (-1) $$
$$ i^4 = 1 $$
Nota. La potenza di un numero immaginario con esponente pari è sempre un numero reale. Viceversa, la potenza di un numero immaginario con esponente dispari è un altro numero immaginario.
E così via.
