La potenza del numero complesso

Per calcolare la potenza di un numero complesso in forma algebrica z=a+bi applico la regola algebrica della potenza di un binomio $$ z^n=(a+bi)^n $$ ricordandomi che il quadrato dell'unità immaginaria i2=-1 è sempre uguale a meno uno $$ i^2 = -1 $$

A volte è comunque più comodo calcolare la potenza di un numero complesso in forma trigonometrica o esponenziale.

Un esempio pratico

Devo calcolare il quadrato del numero complesso z=1+3i

$$ z=1+3i $$

Considero il numero complesso come un binomio elevato al quadrato (a+b)2

$$ z^2 = (1+3i)^2 $$

Quindi applico la regola del quadrato del binomio (a+b)2=a2+2ab+b2

$$ z^2 = 1^2+2 \cdot 3i +3^2i^2 $$

$$ z^2 = 1+6i +9i^2 $$

Il quadrato dell'unità immaginaria è i2=-1

$$ z^2 = 1+6i +9 \cdot (-1) $$

$$ z^2 = 1+6i -9 $$

$$ z^2 = -8+6i $$

Il quadrato del numero complesso è z2=-8+6i

Esempio 2

In questo esempio calcolo il cubo del numero complesso z=1+3i

$$ z=1+3i $$

Considero il numero complesso come un binomio elevato al cubo (a+b)3

$$ z^3 = (1+3i)^3 $$

Quindi applico la regola algebrica del cubo del binomio (a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3

$$ z^3 = 1^2 + 3 \cdot 1^2 \cdot 3i + 3 \cdot 1 \cdot (3i)^2 + (3i)^3 $$

$$ z^3 = 1 + 9i + 3 \cdot 1 \cdot 3^2i^2 + 3^3i^3 $$

$$ z^3 = 1 + 9i + 3 \cdot 1 \cdot 9i^2 + 27i^3 $$

$$ z^3 = 1 + 9i + 27i^2 + 27i^3 $$

Sapendo che i2=-1

$$ z^3 = 1 + 9i + 27 \cdot (-1) + 27i^3 $$

$$ z^3 = 1 + 9i - 27 + 27i^3 $$

$$ z^3 = -26 + 9i + 27i^3 $$

Per la proprietà delle potenze i3=i2·i

$$ z^3 = -26 + 9i + 27 \cdot ( i^2 \cdot i ) $$

Sapendo che i2=-1

$$ z^3 = -26 + 9i + 27 \cdot ( -1 \cdot i ) $$

$$ z^3 = -26 + 9i - 27i $$

$$ z^3 = -26 - 18i $$

Il cubo del numero complesso è z3=-26-18i

La potenza di un numero complesso in forma trigonometrica

Dato un numero complesso in forma trigonometrica $$ z = d \cdot ( \cos \alpha + i \cdot \sin \alpha ) $$ la potenza ennesima è un numero complesso che ha per modulo la potenza n-esima del modulo e per argomento il prodotto tra l'esponente n e l'argomento α $$ z^n = d^n \cdot [ \cos (n \cdot \alpha) + i \cdot \sin (n \cdot \alpha) ] $$

Se devo calcolare una potenza n-esima con n>3 mi conviene prima trasformare il numero complesso dalla forma algebrica alla forma trigonometrica o esponenziale.

Il calcolo diventa molto più semplice.

Un esempio pratico

Ho un numero complesso

$$ z = 1 + 3i $$

Il quadrato del numero complesso è il prodotto del numero per se stesso

$$ z \cdot z = ( 1 + 3i ) \cdot ( 1 + 3i ) $$

Per svolgere il calcolo trasformo il numero in forma trigonometrica.

$$ z = \sqrt{1^2+3^2} \cdot [ \cos ( \arctan \frac{3}{1}) + i \cdot \sin ( \arctan \frac{3}{1}) ] $$

$$ z = \sqrt{10} \cdot ( \cos 71.57° + i \cdot \sin 71.57° ) $$

Poi applico la formula con n=2

$$ z^n = d^n \cdot [ \cos (n \cdot a) + i \cdot \sin (n \cdot a) ] = $$

$$ (1+3i)^2 = ( \sqrt{10} )^2 \cdot [ \cos (2 \cdot 71.57°) + i \cdot \sin (2 \cdot 71.57°) ] = $$

Il risultato è la potenza del numero complesso in forma trigonometrica

$$ 10 \cdot [ \cos (143.14°) + i \cdot \sin (143.14°) ] $$

Nota. A questo punto, se necessario mi basta convertire il risultato dalla forma trigonometrica alla forma algebrica z=a+bi usando le solite formule di conversione. $$ a = d \cdot \cos \alpha = 10 \cdot \cos 143.14° = -8 $$ $$ b = d \cdot \sin \alpha = 10 \cdot \sin 143.14° = 6 $$ Quindi, in forma algebrica la potenza del numero complesso è $$ 10 \cdot [ \cos (143.14°) + i \cdot \sin (143.14°) ] = -8 + 6 i $$

La dimostrazione

Dato un numero complesso

$$ z = d \cdot ( \cos \alpha + i \cdot \sin \alpha ) $$

Il prodotto con se stesso è

$$ z^2 = z \cdot z $$

Utilizzo la formula del prodotto tra due numeri complessi in forma trigonometrica

Moltiplico i moduli e sommo gli argomenti dei due numeri complessi.

$$ d \cdot d [ \cos (\alpha+\alpha) + i \cdot \sin(\alpha+\alpha) ] $$

$$ d^2 [ \cos (2\alpha) + i \cdot \sin(2\alpha) ] $$

Allo stesso modo per calcolare una potenza ennesima devo moltiplicare il numero per se stesso n volte.

$$ z^n = \underbrace{z \cdot z \cdots \cdot z}_{n \ volte} $$

Se i numeri sono in forma trigonometrica, per calcolare il prodotto moltiplico i moduli n volte e sommo gli argomenti n volte.

$$ (\underbrace{d \cdot d \cdots \cdot d}_{n \ volte}) \cdot [ \cos ( \underbrace{\alpha + \alpha + \cdots + \alpha}_{n \ volte} ) + i \cdot \sin( \underbrace{\alpha + \alpha + \cdots + \alpha}_{n \ volte} ) ] $$

$$ d^n \cdot [ \cos ( n \cdot \alpha) + i \cdot \sin(n \cdot \alpha) ] $$

Quindi considerando un esponente n qualsiasi, per calcolare una potenza n-esima di un numero complesso vale la seguente formula di De Moivre

$$ [d \cdot ( \cos \alpha + i \cdot \sin \alpha ) ]^n =d^n \cdot [ \cos (n \cdot \alpha) + i \cdot \sin(n \cdot \alpha) ] $$

Nota. Se l'esponente è un numero intero negativo vale la stessa regola delle potenze di un numero reale, la potenza con esponente negativo z-n è il reciproco del numero z elevato alla n. $$ z^{-n} = \frac{1}{z^n} $$ in forma trigonometrica $$ [d \cdot (\cos \alpha + i \cdot \sin \alpha)]^{-n} = \frac{1}{d^n \cdot (\cos n \alpha + i \cdot \sin n \alpha)} = \frac{1}{d^n} \cdot (\cos n \alpha - i \sin n \alpha) $$ Per ogni ulteriore spiegazione sui vari passaggi algebrici rimando alla dimostrazione per non doverla ripetere ogni volta.

La potenza di un numero complesso in forma esponenziale

Dato un numero complesso in forma esponenziale $$ z = d \cdot ( \cos \alpha + i \cdot \sin \alpha ) = d \cdot e^{i \alpha} $$ la potenza ennesima del numero complesso è calcolabile con la formula $$ z^n = d^n \cdot e^{i \cdot \alpha \cdot n } $$

E' un modo alternativo per calcolare la potenza n-esima di un numero complesso.

Esempio

Riprendo il numero complesso già visto nell'esempio precedente

$$ z = 1+3i $$

Trasformo il numero complesso in forma esponenziale

$$ z = \sqrt{10} \cdot e^{i \cdot 71.57°} $$

Per calcolare il quadrato del numero esponenziale applico la formula con n=2

$$ z^2 = d^n \cdot e^{i \cdot \alpha \cdot n} $$

$$ z^2 = d^2 \cdot e^{i \cdot \alpha \cdot 2} $$

Sapendo che il modulo è √10 e l'argomento è 71.57°

$$ z^2 = (\sqrt{10})^2 \cdot e^{i \cdot 71.57° \cdot 2} $$

$$ z^2 = 10 \cdot e^{i \cdot 143.14°} $$

Il risultato è il quadrato del numero complesso z2=(1+3i)2 in forma esponenziale

Nota. Per fare una verifica converto il numero complesso dalla forma esponenziale alla forma trigonometrica. $$ z^2 = 10 \cdot e^{i \cdot 143.14°} $$ $$ z^2 = 10 \cdot ( \cos 143.14° + i \cdot \sin 143.14°) $$ Poi dalla forma trigonometrica alla forma algebrica. $$ z^2 = 10 \cdot \cos 143.14° + 10 \cdot i \cdot \sin 143.14°) $$ $$ z^2 = 10 \cdot (-0.8) + 10 \cdot i \cdot 0.6) $$ $$ z^2 = -8 + 6 i $$ E' lo stesso risultato ottenuto nell'esempio precedente.

E così via.

 


 

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