La moltiplicazione di due numeri complessi in forma esponenziale
Il prodotto di due numeri complessi in forma esponenziale è un numero complesso che per modulo il prodotto dei moduli e per argomento la somma degli argomenti. $$ z_1 \cdot z_2 = (r_1 \cdot r_2) \cdot e^{i(\alpha + \beta)} $$
Un esempio pratico
Considero due numeri complessi
$$ z_1=1+3i $$
$$ z_2=4+2i $$
Sul piano di Gauss i due numeri sono i punti (1,3) e (4,2)
Converto i due numeri in forma trigonometrica
Calcolo il modulo dei numeri complessi
$$ r_1 = \sqrt{1^2+3^2} = \sqrt{10} = 3.16 $$
$$ r_2 = \sqrt{4^2+2^2} = \sqrt{20} = 4.47 $$
Poi calcolo l'argomento dei numeri complessi
$$ \alpha = \arctan \frac{3}{1} = 71.57° $$
$$ \beta = \arctan \frac{2}{4} = 26.57° $$
Quindi, i due numeri in forma trigonometrica sono i seguenti
$$ z_1 = 3.16 \cdot ( \cos 71.57° + i \cdot \sin 71.57° ) $$
$$ z_2 = 4.47 \cdot ( \cos 26.57° + i \cdot \sin 26.57° ) $$
Le coordinate polari [r,α] dei due numeri indicano gli stessi punti sul piano ossia gli stessi numeri complessi z1 e z2.
Una volta note le coordinate polari [r,α] li converto in forma esponenziale tramite la formula di Eulero z=reiα
$$ z_1 = 3.16 \cdot e^{i \cdot 71.57°} $$
$$ z_2 = 4.47 \cdot e^{i \cdot 26.57°} $$
A questo punto calcolo il prodotto dei due numeri complessi in forma esponenziale
$$ z_1 \cdot z_2 = (3.16 \cdot 4.47) \cdot e^{i \cdot (71.57°+26.57°)}$$
$$ z_1 \cdot z_2 = 14.1252 \cdot e^{i \cdot (98.14°)}$$
Converto il risultato in forma trigonometrica
$$ z_1 \cdot z_2 = 14.1252 \cdot ( \cos 98.14° + i \cdot \sin 98.14° ) $$
Infine, lo converto in forma algebrica calcolando i valori del seno e del coseno
$$ z_1 \cdot z_2 = 14.1252 \cdot \cos 98.14° + 14.1252 \cdot i \cdot \sin 98.14° $$
$$ z_1 \cdot z_2 = -2 + 14 i $$
Il risultato è il prodotto dei due numeri complessi.
Verifica. Per verificare se il risultato è corretto, ricalcolo il prodotto dei due numeri complessi in forma algebrica. $$ z_1 \cdot z_2 = (1+3i) \cdot (4+2i) $$ $$ z_1 \cdot z_2 = 4+2i+12i+6i^2 $$ $$ z_1 \cdot z_2 = 4+14i+6 \cdot (-1) $$ $$ z_1 \cdot z_2 = -2+14i $$ Il risultato è lo stesso
E così via.
