Esercizio integrale di 3e^(3x)/(6-e^(3x)) dx
Devo risolvere l'integrale
$$ \int \frac{3e^{3x}}{6-e^{3x}} \, dx, $$
Per risolvere l'integrale utilizzo il metodo della sostituzione. In altre parole, scelgo una parte dell'integrale e la sostituisco con una nuova variabile, semplificando così l'integrale.
In questo caso, una buona scelta per la sostituzione è u=6-e3x
$$ u = 6 - e^{3x} $$
Calcolo la derivata di \( u \) rispetto a \( x \) per trovare \( du \) e quindi esprimere \( dx \) in termini di \( du \).
$$
\begin{align*}
u &= 6 - e^{3x} \\
\frac{du}{dx} &= -3e^{3x} \\
dx &= -\frac{1}{3e^{3x}} du
\end{align*} $$
Ora posso riscrivere l'integrale in termini di \( u \) e \( du \):
$$ \int \frac{3e^{3x}}{6-e^{3x}} \, dx $$
Sostituisco dx=-1/(3e3x) du
$$ \int \frac{3e^{3x}}{6-e^{3x}} \cdot ( -\frac{1}{3e^{3x}} \, du ) $$
Poi sostituisco u=6-e3x
$$ \int \frac{3e^{3x}}{u} \cdot ( -\frac{1}{3e^{3x}} \, du ) $$
Semplificando diventa
$$ \int - \frac{1}{u} \, du $$
Infine, sposto il segno - al di fuori dell'integrale applicando la proprietà del calcolo integrale che riguarda il prodotto per uno scalare.
$$ -\int \frac{1}{u} \, du $$
In questo modo ho ricondotto il problema a un integrale elementare.
L'integrale di \( -\frac{1}{u} \) rispetto a \( u \) è semplicemente \( -\ln|u| + C \), dove \( C \) è la costante di integrazione.
$$ -\int \frac{1}{u} \, du = -\ln|u| + C $$
Sostituisco \( u \) con \( 6 - e^{3x} \) e ottengo
$$ -\ln|6 - e^{3x}| + C $$
Quindi, il risultato dell'integrale originale è il logaritmo naturale del modulo di 6-e3x.
$$ \int \frac{3e^{3x}}{6-e^{3x}} \, dx = -\ln|6 - e^{3x}| + C $$
E così via.
