Esercizio calcolo integrale 7
Devo risolvere l'integrale
$$ \int \frac{x^2}{4x^2+1} \ dx $$
Per semplificare il calcolo provo a ottenere la stessa espressione al numeratore e al denominatore.
Moltiplico e divido per 4 la funzione integranda.
$$ \int \frac{4}{4} \cdot \frac{x^2}{4x^2+1} \ dx $$
$$ \int \frac{1}{4} \cdot \frac{4x^2}{4x^2+1} \ dx $$
Faccio uscire la costante 1/4 dall'integrale
$$ \frac{1}{4} \cdot \int \frac{4x^2}{4x^2+1} \ dx $$
Ora addiziono e sottraggo 1 al numeratore
$$ \frac{1}{4} \cdot \int \frac{4x^2 + 1 - 1}{4x^2+1} \ dx $$
$$ \frac{1}{4} \cdot \int \frac{4x^2 + 1}{4x^2+1} - \frac{1}{4x^2+1} \ dx $$
A questo punto posso semplificare la prima frazione
$$ \frac{1}{4} \cdot \int 1 - \frac{1}{4x^2+1} \ dx $$
Per la proprietà lineare degli integrali, l'integrale di una somma algebrica è uguale alla somma degli integrali.
$$ \frac{1}{4} \cdot [ \int 1 \ dx - \int \frac{1}{4x^2+1} \ dx ] $$
Il primo integrale è molto semplice. L'integrale ∫1 dx = x+c, dove "c" è una costante qualsiasi.
$$ \frac{1}{4} \cdot [ x + c - \int \frac{1}{4x^2+1} \ dx ] $$
$$ \frac{1}{4} \cdot [ x + c - \int \frac{1}{(2x)^2+1} \ dx ] $$
Per risolvere il secondo integrale utilizzo il metodo della sostituzione introducendo la variabile ausiliaria u=2x
$$ u = 2x $$
Poi calcolo il differenziale rispetto alle rispettive variabili
$$ du = 2 dx $$
$$ dx = \frac{du}{2} $$
Sostituisco dx=du/2 nell'integrale
$$ \frac{1}{4} \cdot [ x + c - \int \frac{1}{(2x)^2+1} \ dx ] $$
$$ \frac{1}{4} \cdot [ x + c - \int \frac{1}{(2x)^2+1} \frac{du}{2} ] $$
Poi sostituisco u=2x
$$ \frac{1}{4} \cdot [ x + c - \int \frac{1}{u^2+1} \frac{du}{2} ] $$
Faccio uscire la costante 1/2 dall'integrale
$$ \frac{1}{4} \cdot [ x + c - \int \frac{1}{u^2+1} \cdot \frac{1}{2} \ du ] $$
$$ \frac{1}{4} \cdot [ x + c - \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{u^2+1} \ du ] $$
Ora anche il secondo integrale è elementare ∫1/(u2+1) =arctan(u)+c
La soluzione è l'arcotangente di u
$$ \frac{1}{4} \cdot [ x + c - \frac{1}{2} \cdot \arctan(u) ] $$
Sostituisco u=2x
$$ \frac{1}{4} \cdot [ x + c - \frac{1}{2} \cdot \arctan(2x) ] $$
$$ \frac{x}{4} - \frac{1}{4 \dot 2} \cdot \arctan(2x) + c $$
$$ \frac{x}{4} - \frac{1}{8} \cdot \arctan(2x) + c $$
Pertanto, la soluzione dell'integrale è
$$ \int \frac{x^2}{4x^2+1} \ dx = \frac{x}{4} - \frac{1}{8} \cdot \arctan(2x) + c $$
E così via.
